東大 情報理工学系研究科 一般教育科目（数学） 2022年度 院試 解答例・解説

存在条件は区間の重なり

$z$ が存在するかどうかは，$z$ が入るべき2つの開区間が重なるかどうかで判定できる。$s=z-xy$，$t=z-(x+y)^2$ と置くと，重なり条件が $xy<0$ と $x^2+xy+y^2<1$ に整理される。

楕円の主軸

$x^2+xy+y^2$ の交差項は，座標軸に対して傾いた楕円を表す。固有ベクトル $(1,-1)^T,(1,1)^T$ を使えば，単位円から楕円への線形変換を直接作れる。

面積は行列式で処理する

線形変換による面積倍率は行列式の絶対値である。あとは単位円側で $xy<0$ に対応する扇形の角度を数えればよい。

微分すると端点だけが残る

$\alpha$ で微分すると，分子の $f(\alpha x)$ だけが変化し，$x$ が打ち消されて $\int f'(\alpha x)\,dx$ になる。ここから置換積分で端点の値に落ちる。

Frullani型積分

最後の公式はFrullani型積分である。一般に $$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx$$ は，$f(0)$ と $a/b$ の対数で決まる。今回の $f(u)=e^{-u}\cos u$ は振動を含むが，指数減衰により同じ枠組みで扱える。

面積は独立な一様乱数の積

点 $A=(X,Y)$ が単位正方形上で一様なので，長方形の面積は $S=XY$ である。積の分布は，単位正方形内の双曲線 $xy=r$ の下側の面積として計算できる。

最小値の分布

最小値 $Z$ については，直接 $Z\le z$ を考えるより $$Z>z$$ を考える方が簡単である。これは全ての $S_i$ が $z$ より大きいという事象なので，独立性により確率が $n$ 乗になる。