東大 情報理工学系研究科 一般教育科目（数学） 2024年度 院試 解答例・解説

差の行列はアフィン独立性を見る

$A$ は $n_i$ そのものではなく，隣り合う差を並べた行列である。したがって rank の条件は「$n_1,n_2,n_3,n_4$ が同一平面上に乗るかどうか」として読むと自然である。

距離の二乗和は正規方程式になる

平面までの距離の二乗和も，直線までの距離の二乗和も，本質的には最小二乗問題である。勾配をゼロにすると $$\left(\sum n_in_i^T\right)x=\sum d_in_i$$ の形が現れる。行列 $B$ の正定値性を先に示しておくと，最小点が一意であることも同時に分かる。

射影行列の見方

$n_in_i^T$ は $n_i$ 方向への射影，$I-n_in_i^T$ はその直交補空間への射影である。直線への距離は「直線方向に垂直な成分」の長さなので，$W_i=I-n_in_i^T$ が自然に出てくる。

ガンマ関数として見る

$f(s)$ はガンマ関数 $\Gamma(s)$ である。特に $f(1)=\Gamma(1)=1$ であり，$s$ に関する微分は $t^{s-1}$ から $\log t$ を引き出す操作になる。

不等式の役割

$e^t>t^n/n!$ は，尾部積分を多項式で上から評価するために使う。$n>s$ という条件は $$\int_1^c t^{s-1-n}\,dt$$ を $n-s$ で表すために必要である。

最後は分散の変数変換

$p(r)$ はレイリー分布である。$u=r^2/(2\alpha)$ と置くと指数分布へ変わり，$\log r$ は $\log u$ の半分に定数を足したものになる。このため $\alpha$ に依存しない値が出る。

停止までの回数を見る

この過程では，停止するまで右・上の移動だけが続く。したがって停止位置 $(X,Y)$ は，停止前に右を何回，上を何回選んだかというカウントそのものである。共同分布は二項係数つきの負の多項分布になる。

幾何分布としての $X$

$X=0$ は「右が出る前に停止する」確率である。上への移動は何回挟まっても構わないため，$q$ の等比級数になる。以後，右への移動を1回数えるたびに同じ状況が再開するので，$X$ は幾何分布になる。

相関が正になる理由

$X$ と $Y$ は一見競合するが，停止が遅いほど右にも上にも多く進むため，無条件では正の相関をもつ。計算上も $\operatorname{Cov}(X,Y)=pq/r^2>0$ となる。