東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 院試 過去問 解答・解説【21年分】

出題分野の一覧（年度 × 分野）

年度別の出題内容と解説の見出し

1. 2026年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 微分積分・解析円板上の重積分
   • 第2問像と核の直和分解解説: 落としやすい点
   • 第3問 微分積分・解析べき級数とタウバー型定理
   • 第4問Euler作用素と多項式性
   • 第5問Lotka--Volterra型方程式解説: 採点上の注意
   • 第6問 数学Fourier積分と正定値行列
   • 第7問 位相・幾何コンパクト性とファイバーの濃度解説: 採点上の注意
2. 2025年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 微分積分・解析広義積分と漸近展開
   • 第2問 線形代数射影された線形写像
   • 第3問反復正弦と log-sum-exp
   • 第4問 線形代数対称双線形写像の普遍性
   • 第5問 位相・幾何コンパクト集合を保つ全単射
   • 第6問 微分積分・解析Schwarz積分と有理型関数
   • 第7問Riccati 方程式
3. 2024年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 線形代数巡回型行列
   • 第2問 微分積分・解析斉次関数の臨界点
   • 第3問負内積ベクトル族
   • 第4問 微分積分・解析床関数を含む積分
   • 第5問有理数軸に付く位相
   • 第6問 微分積分・解析対数積分
   • 第7問非線形系の位相共役
4. 2023年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 線形代数交互成分行列
   • 第2問 微分積分・解析細い領域の二重積分
   • 第3問 線形代数外積表現と対角化
   • 第4問 位相・幾何等長変換族のコンパクト性
   • 第5問 力学高速振動積分
   • 第6問留数計算
   • 第7問境界値問題
5. 2022年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 線形代数線型写像の対角化解説: 採点上の注意
   • 第2問 微分積分・解析極座標による重積分
   • 第3問 微分積分・解析ディリクレ積分
   • 第4問 微分方程式連立微分方程式の極限
   • 第5問 位相・幾何特殊な距離空間解説: コンパクト性の見方
   • 第6問 線形代数対称行列の固有値評価解説: 整数条件の使い所
   • 第7問 微分積分・解析関数列と関数項級数解説: 一様収束で見るべき点
6. 2020年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 線形代数上三角行列の対角化条件
   • 第2問 微分積分・解析極座標領域上の対数積分解説: 採点上の注意
   • 第3問 微分積分・解析半円と補間二次関数の面積漸近
   • 第4問 微分方程式連立一次微分方程式
   • 第5問 線形代数対角化可能作用素の不変部分空間解説: 採点上の注意
   • 第6問 数学確率重み列と極限交換
   • 第7問右上集合が生成する位相解説: 採点上の注意
7. 2019年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 微分積分・解析関数の極限と展開
   • 第2問 線形代数直交行列と上三角分解
   • 第3問 線形代数冪零行列の可換行列解説: 採点上の注意
   • 第4問商空間と点列
   • 第5問第一象限の零点数
   • 第6問 微分積分・解析平均型積分方程式解説: 一意性の要点
   • 第7問 微分積分・解析畳み込みの導関数と一様可積分性
8. 2018年度の解答・解説全7大問
   • 第1問 微分積分・解析平均値の極限
   • 第2問二次多項式空間上の線形変換解説: 採点上の注意
   • 第3問 微分積分・解析極座標と平面領域の積分
   • 第4問 微分積分・解析臨界点と可算性解説: 採点上の注意
   • 第5問 線形代数行列の可換環
   • 第6問 微分方程式一次線形微分方程式の極限
   • 第7問 微分積分・解析三乗 sinc 積分
9. 2017年度の解答・解説全7大問
   • 第1問多項式空間の線形変換解説: 対角化判定の注意
   • 第2問 微分積分・解析反復正弦と級数解説: 交代級数
   • 第3問 微分積分・解析原点での連続性と全微分可能性
   • 第4問 力学平面力学系の極限
   • 第5問二形式の分解可能性解説: 採点上の注意
   • 第6問 線形代数行列の核で割った商空間解説: 開集合の直感
   • 第7問 微分積分・解析対数を含む広義積分解説: 符号の検算
10. 2016年度の解答・解説全7大問
    • 第1問核空間と直和分解
    • 第2問 微分積分・解析奇数冪積分と一様収束解説: 一様収束の使い所 / 数値評価の確認
    • 第3問 線形代数二乗根をもつ実行列解説: 核となる見方 / 答案上の注意
    • 第4問 微分積分・解析固有写像と距離関数の最小化
    • 第5問根の評価と留数定理解説: 根の評価 / 留数計算の短縮
    • 第6問 微分方程式連立線形微分方程式
    • 第7問 微分積分・解析高階熱方程式型の級数解解説: 指数の意味
11. 2015年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数剰余で定まる線形写像解説: 対角化の注意
    • 第2問円板上の平均値解説: 採点上の注意
    • 第3問同相写像の軌道空間解説: 開写像の証明 / ハウスドルフ性の見方
    • 第4問 線形代数テンソル表示と行列積解説: 積の順序
    • 第5問 微分積分・解析漸化式の収束
    • 第6問 数学ベクトル場の流れと線積分解説: 線積分の計算
    • 第7問 微分積分・解析対数積分と留数解説: 分枝の選び方
12. 2014年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数線形写像と正定値性解説: 差を取って階段化する / 正定値性の見せ方
    • 第2問乗法的Cauchy方程式解説: 割って加法形にする / 連続性の役割
    • 第3問 微分積分・解析距離関数の微分解説: 下限を取る順序 / 勾配の大きさ
    • 第4問 微分積分・解析Poisson核型積分解説: 符号付きの / 1 の処理
    • 第5問回転面の面積条件解説: 全区間で面積が一致する意味 / 単調性の使い方
    • 第6問可換部分空間の次元解説: 条件 (b) の読み替え / 次行列での上限
    • 第7問Lorenz型ベクトル場と体積収縮解説: 吸収領域の確認 / 体積は発散で決まる
13. 2013年度の解答・解説全7大問
    • 第1問ハウスホルダー変換と回転解説: 反射として見る / 回転角は跡で決める
    • 第2問 微分積分・解析調和級数と奇偶部分和解説: 定数の名前より評価が重要 / 同じ定数は相殺される
    • 第3問交代形式への合同変換解説: 合同変換を外積で読む / 3次元の便利な同一視
    • 第4問 微分積分・解析対数を含む正則関数と実積分解説: 枝の選択を先に固定する / 端点の特異性
    • 第5問 微分積分・解析上限で定める関数の連続性解説: 閉区間では一様連続性が効く / 半開区間では上限が端に逃げる
    • 第6問4階テンソルの巡回作用解説: 巡回群の表現として処理する / 跡の数え方
    • 第7問単位速さ曲線の零点数解説: 零点が孤立する理由 / 曲率ではなく速度変化量を見る
14. 2012年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数交換子と対角化可能性解説: 階数条件は行ベクトルで見る / 対角化では重複固有値だけを見る
    • 第2問 微分積分・解析二変数関数の最大値解説: 境界確認を省かない / 平面全体では無限遠を見る
    • 第3問 微分積分・解析フーリエ積分解説: 分母を二つの標準形に分ける / 収束の見方
    • 第4問 線形代数行列の生成する部分空間解説: 生成空間の次元は最小多項式の次数 / 固有ベクトルは射影子に近い形で出る
    • 第5問 位相・幾何連結閉集合の減少列解説: 反例は「つなぎ目を無限遠へ逃がす」 / コンパクト性の使い所
    • 第6問四つの二次元部分空間解説: まず二つの補空間で形を決める / は傾きをそろえる条件
    • 第7問 微分積分・解析ガウス積分を含む関数解説: 微分すると既知のガウス積分が出る / 平方根オーダーのずれを読む
15. 2011年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数対角化可能性と相似条件解説: 相似では特性多項式だけでは足りない場合がある / 階数でジョルダン型を読む
    • 第2問 微分積分・解析特異積分の極限解説: 発散しそうな対数は x 型で消える / 最後の極限は二つの項を別々に見る
    • 第3問 位相・幾何コンパクト開位相の基本閉性解説: 証明の核は点列の取り直し / 一様収束を使う箇所
    • 第4問線形漸化式と部分和作用素解説: 漸化式空間は有限次元 / 部分和は次数を一つ上げる
    • 第5問対数発散の係数と定数項解説: 和を階乗に落とす / 係数 は対数発散の係数
    • 第6問単位円上の留数計算解説: 極が円の内側に入るかだけを見る / 留数の符号
    • 第7問 微分方程式法線反射から生じる微分方程式解説: 反射条件を式にする / f(x)/x による単純化
16. 2010年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数階数低下と零固有値解説: 階数が下がる理由 / 第2段階の見方
    • 第2問 微分積分・解析コーシー型核の積分と畳み込み解説: の符号を落とさない / 畳み込みで幅が足される
    • 第3問 微分積分・解析有界列空間と収束列の閉性解説: sup ノルムでの議論 / 閉性はコーシー性で示す
    • 第4問 線形代数シルベスター型写像のジョルダン形解説: 固有値は差で出る / 可換条件は線形方程式
    • 第5問 微分積分・解析偶関数を平方根で合成した滑らかさ解説: 偶関数なので奇数次が消える / 原点だけを丁寧に見る
    • 第6問 微分積分・解析正弦関数の零点と留数の相殺解説: 上下の零点を対で見る / 境界上の確認
    • 第7問一次分数変換と対数距離解説: 対数距離では比だけを見る / 最良定数は対数座標の微分で出る
17. 2007年度の解答・解説全7大問
    • 第1問広義固有空間と交換関係解説: 固有空間ではなく広義固有空間を見る / nilpotent 性の理由
    • 第2問 微分方程式偏微分可能性と極座標積分解説: 偏微分可能と全微分可能は違う / 領域判定は符号だけを見る
    • 第3問 位相・幾何コンパクト集合の直積近傍解説: コンパクト性が作る余裕 / 距離は最大ノルムが便利
    • 第4問留数計算と交代二項和解説: 和は留数定理で出る / 主要項の分離
    • 第5問 微分積分・解析Lipschitz関数の距離解説: この距離は値と傾きを測る / 通常の一様収束とは違う
    • 第6問 微分積分・解析Laplace型積分の境界展開解説: 境界点 0 は別扱い / 展開の読み方
    • 第7問 線形代数階数一更新と正則性解説: 階数一更新の判定 / 正則行列の場合
18. 2006年度の解答・解説全7大問
    • 第1問行基本変形と列空間解説: 行基本変形だけの場合 / 列基本変形も許す場合
    • 第2問 微分積分・解析余弦積分と一様収束解説: 次数の数え方 / 一様収束の見せ方
    • 第3問双対空間と直和分解解説: 座標化して見る / 逆向きの落とし穴
    • 第4問 微分積分・解析商集合上の距離関数解説: これは距離ではなく擬距離 / 代表元をそろえる工夫
    • 第5問 微分積分・解析対数積分の評価解説: 正の場合 / 負の場合
    • 第6問 微分積分・解析微分不等式と上界解説: 積分因子 / 符号に注意
    • 第7問 微分積分・解析非定常位相の部分積分解説: 非定常位相 / 境界項の扱い
19. 2005年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数実対称行列の固有条件解説: 対称行列全体に作用する線形写像として見る / 零行列を除く条件
    • 第2問 微分積分・解析平坦関数と積分剰余解説: 平坦性の使い方 / 積分剰余の形
    • 第3問 微分積分・解析単調関数が誘導する距離解説: 引き戻し距離 / 完備性が連続性を強制する理由
    • 第4問 線形代数行列空間の二次外積上の形式解説: 外積に降りる条件 / 非退化性の確認
    • 第5問 力学円周上の射影力学系解説: 円周上の固定点と固有値 / (a) が開になる理由
    • 第6問 微分積分・解析切断をもつ対数と周回積分解説: 枝が存在する理由 / 符号の確認
    • 第7問 微分積分・解析畳み込み平均と無限遠極限解説: (a) から (b) の核 / 一様連続性が必要な場所
20. 2004年度の解答・解説全7大問
    • 第1問 線形代数行列ノルムとスペクトル半径解説: ノルムの種類に惑わされない / 重根は極限値を変えない
    • 第2問同次性と極座標表示解説: 最初に同次性を見る / 符号と定義域
    • 第3問 位相・幾何グラフ距離とコンパクト性解説: グラフとして見る / 逆向きで使うコンパクト性
    • 第4問 微分方程式二階微分方程式の第一積分解説: 割る前に正値性を確保する / 解が正であることの検算
    • 第5問 微分積分・解析指数置換とベータ型積分解説: Fourier 変換を Mellin 変換へ移す / 特殊値で検算する
    • 第6問外積表現とJordanブロック解説: 外積の誘導写像 / 3 の役割
    • 第7問 線形代数最大固有値による成長評価解説: 反対称成分はノルムを増やさない / 最大固有値の使い方