東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2017年度 院試 解答例・解説

方針

$T_m$ は微分作用素に，定数項を取り出して $x^m$ を掛けるランク1作用素を 足したものである。標準基底で行列を書いてもよいが，固有方程式を係数の漸化式として 扱う方が計算の見通しがよい。

対角化判定の注意

重根があることだけでなく，その固有空間の次元を確認する必要がある。 ここでは $m=0,1,2$ で固有値 $0$ が重複するが，核は1次元にしかならない。 したがって固有ベクトルが不足する。$m=3,4$ は固有値が5個相異なるため， 複素ベクトル空間上で自動的に対角化可能である。

方針

反復正弦は非常にゆっくり0へ近づく。重要なのは $\sin u=u-u^3/6+\cdots$ で，減少量が $u^3$ 程度しかないことである。 問題で求められている下界は $1/n$ 型なので，正項級数は発散する。

交代級数

正項の和は発散しても，項そのものは単調に0へ下がる。したがって交代符号をつけると Leibnizの判定法が使える。ここで「絶対収束しない」ことまで書くと， 第3問と第4問の違いが明確になる。

方針

分母は $r^{2\lambda}$ で，分子の支配項は $2y^2$ である。したがって 連続性では $r^{2-2\lambda}\to0$ が境界になる。全微分可能性ではさらに 距離 $r$ で割るため，条件が一段厳しくなる。

典型ミス

$x$-軸だけを見ると $x^4$ が出るため条件を甘く見積もりやすい。 この問題では $y$-軸方向の $2y^2$ が最悪方向であり，そこを確認しないと 必要条件を取り逃がす。

方針

実部と虚部をまとめて複素数で見ると，一気に回転と半径の方程式に分かれる。 半径はロジスティック方程式で1へ収束し，角度は半径の対数変化と同じだけ進む。

検算

$r_0=1$ のときは右辺が $x_0$ になる。実際，初期値が単位円上なら $1-x^2-y^2=0$ なので解は最初から動かない。この特殊場合で式の符号を検算できる。

方針

2形式が1形式2つの外積で書けることを「分解可能」という。3次元では交代行列が 必ず核を持つため，核方向を基底の1つにすれば残り2方向だけの2形式になる。 4次元以上では標準例 $\varepsilon^1\wedge\varepsilon^2+\varepsilon^3\wedge\varepsilon^4$ が分解不可能性を示す。

採点上の注意

$n\ge4$ の反例では，$\omega\wedge\omega\ne0$ を明示するのが最短で確実である。 分解可能な2形式なら同じ1形式が2回現れるため外積の二乗は必ず0になる。

方針

商で潰している情報は「核」だけである。可逆行列は全て1点に潰れ，零行列も1点に 潰れ，階数1行列だけが核直線を覚えている。この核直線の空間が $\mathbb{RP}^1$ である。

開集合の直感

零行列の近くには，可逆行列も，任意の核直線を持つ小さい階数1行列も存在する。 そのため零行列の同値類を含む開集合は，商空間上では全ての点を含まざるを得ない。 この点が通常の多様体的な商空間と大きく違うところである。

方針

$x^2-1$ は区間 $(0,1)$ で負なので，$-1/(1-x^2)$ と見て幾何級数に展開する。 すると奇数番目の平方逆数和が現れる。

符号の検算

$0<x<1$ では $\log x<0$，$x^2-1<0$ なので integrand は正である。 答え $\pi^2/8>0$ は符号と一致する。途中で $1/(x^2-1)=1/(1-x^2)$ としてしまうと符号が逆になる。