東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2019年度 院試 解答例・解説

方針

$\log(1+x)$ を先に展開し，最後に平方根の展開を使う。平方根の外側だけを ロピタル型で処理すると，二次係数の計算で手間が増える。

検算

$\log(1+x)/x=1-x/2+\cdots$ だから，平方根を取った一次係数はその半分の $-1/4$ になる。符号が正になる解答は，$\log(1+x)$ の一次補正を取り違えている。

方針

これは $QR$ 分解で $R$ の対角成分を正の対角行列 $D$ に分けるだけである。 $R=DU$ と分解すれば，$U$ の対角成分は自動的にすべて $1$ になる。

検算

$D$ の対角成分は $\|a_1\|,\ \|a_2-(q_1,a_2)q_1\|,$ 最後の直交成分の長さであり，いずれも正である。

方針

冪零指数がちょうど $n$ であることから，$A$ は一つの巡回ベクトルを持つ。 その基底で見れば，$A$ と可換な行列は $v$ の像だけで決まり，結局 $A$ の多項式になる。

採点上の注意

(2) では $X$ が $A$ と可換であることを先に示すのが重要である。 $X^2=I+A$ からただちに多項式表示を仮定すると，論理が一段抜ける。

方針

閉包と点列閉包がずれる例である。右端の同一視点 $p((1/k,0))$ は $C$ の閉包に入り， それらが $p((0,0))$ に近づく。しかし，各高さで右端にどれだけ近づく必要があるかを 近傍ごとに細かく変えられるため，単一の点列では追いつけない。

方針

第一象限の個数なので，四分円の偏角原理を使う。虚軸上の像 $20-y^6+6iy$ が上半平面を単調に横切ることを見れば，境界の寄与がすぐ決まる。

典型ミス

大円弧の寄与を $\pi/2$ としてしまうと，六次の効果を落としている。 主項 $z^6$ により偏角は六倍される。

方針

(1) は平均値と元の関数が一致する方程式であり，$t x(t)$ を微分すると定数解に落ちる。 (2) は初期値が明示されていないが，$t\to0+$ の極限を取ると初期値も方程式から一意に決まる。

一意性の要点

非負条件により $e^{-u/2}$ をリプシッツ定数 $1/2$ で評価できる。 平均を取る形の積分方程式なので，区間 $[0,T]$ 上の最大値 $M_T$ に対して $$M_T\le\frac12M_T$$ が出る。ここまで書けば，存在を仮定した一意性の証明として十分である。

方針

畳み込みを区間積分として書き直し，端点微分で $F_\varepsilon'$ を出す。 条件は二種類の発散の競合で決まる。無限遠では $|x|^{-2p}$ なので $p>1/2$， $\pm1$ 近傍では $|x\mp1|^{-p}$ なので $p<1$ が必要である。

典型ミス

二つの項を別々に全実数で評価すると，無限遠での打ち消しを失う。 遠方では必ず $$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$$ としてまとめてから評価する。