東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2022年度 院試 解答例・解説

方針

三次元の多項式空間では，まず基底を固定して行列に直すのが最短である。 上三角行列になるので固有値は対角成分からすぐ読める。

採点上の注意

同時対角化では「それぞれ対角化可能」だけでは足りない。必ず可換性を確認する。 今回は可換性の条件が $2b=3a$ で，この条件と $a\ne0$ を合わせると $T$ の対角化可能性も自動的に従う。

方針

被積分関数が $x^2+y^2$ だけで決まるので，領域の不等式を極座標で読む。 条件 $|x|\le x^2+y^2$ は $r>0$ で $|\cos\theta|\le r$ となり，角度ごとに下限が決まる。

検算

積分領域は単位円板全体より小さいので，答えは $\pi/2$ より小さい正数になる。実際 $\pi(\sqrt2-1)/2$ は約 $0.65$ で，量の大きさとしても自然である。

方針

$(\cos ax-\cos bx)/x^2$ はそのままでは見慣れないが，部分積分で $\sin cx/x$ 型に落ちる。実数 $a,b$ の符号を吸収するため，最終形は絶対値で書く。

典型ミス

$a,b\ge0$ と暗黙に仮定すると符号を落とす。ディリクレ積分は $\int_0^\infty \sin(cx)/x\,dx=(\pi/2)\operatorname{sgn}c$ なので， $c$ を前に掛けると $c\,\operatorname{sgn}c=|c|$ になる。

方針

この系は $x$ の単調性と $x+y$ の単調性を見ると極限の存在が分かる。 保存量に近い関係式は，時間で積分するよりも $dy/dx$ を作る方が自然である。

検算

$y$ の式は $$\frac{d}{dt}\left(y-\frac{b}{a}\log x+x\right)=0$$ と微分しても確かめられる。最後の不等式では，$\alpha=b/a$ の境界ケースを落とさないことが重要である。

方針

この距離空間は，各縦線が横軸の高さ $0$ でつながった木のように振る舞う。 ただし原点を除くと，$x=0$ の上下半直線は他の部分から切り離される。

コンパクト性の見方

$|y_0|<1$ では，単位球が高さ $c>0$ の点を無限に多くの縦線から拾う。 異なる縦線上の高さ $c$ の点どうしは，横方向にいくら近くても距離が少なくとも $2c$ ある。 ここが通常のユークリッド距離との決定的な違いである。

方針

${}^tPP$ は必ず半正定値である。そこへ正定値対角行列 $D$ を足すので， 正則性は正定値性から即座に出る。固有値評価はレイリー商とミニマックス原理で押さえる。

整数条件の使い所

$\rho_i$ が相異なる整数であることは，隣り合う固有値の間隔が少なくとも $1$ であることを意味する。 一方 $D$ によるずれは各固有値について $1/3$ 以上 $1$ 以下に収まる。 この二つを合わせると，$\alpha_i$ の重なりが排除できる。

方針

第一問は指数 $p_n$ が $1$ に近づく問題であり，端点 $0$ を含むので連続性を $(x,p)$ の二変数で見ると安全である。

一様収束で見るべき点

各点収束は $x<1$ を固定すれば指数的減衰で済む。一方，一様収束では $x$ を $1$ に近づけてよいので，一般項の上限が $\sin1$ に張り付く。 級数の一様収束を調べるときは，まず一般項が一様に $0$ へ行くかを確認すると早い。