東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2018年度 院試 解答例・解説

方針

(1) は有限区間の寄与が $1/a$ で消えることを見る。 (2) は「平均が $A$ に近づくなら，無限遠で $A$ に近い値を何度も取るはず」という 直観を背理法で定式化する。

典型ミス

(2) で $f(x_n)=A$ を要求してしまうと強すぎる。必要なのは $f(x_n)\to A$ であり，各段階で $|f(x_n)-A|<1/n$ を満たす点を選べば十分である。

方針

抽象的な変換に見えるが，二次以下の多項式空間なので基底に作用させれば終わる。 重根の候補を絞った後，$a=0$ を機械的に「重根だから不可」と判断しないことが重要である。

採点上の注意

特性多項式の convention は $\det(\lambda I-M)$ で統一した。 $\det(M-\lambda I)$ を使う場合は全体に符号が付くが，固有値と対角化可能性は同じである。

方針

極座標化した後，$r$ の上限が三乗根で出る。積分では $g(\theta)^3$ だけが現れるため， 三乗根を直接積分する必要はない。

典型ミス

$\cos\theta-\sin\theta$ の符号を見落とすと角度範囲を広く取りすぎる。 本問では $x\ge0$ と右辺の非負性を同時に使い，結局 $0\le\theta\le\pi/4$ に絞る。

方針

同じ値を取る点が一点に集まれば，平均値の定理でその近くに臨界点が発生する。 これが仮定と衝突する，という構造である。

採点上の注意

「可算」を示すには，各ファイバーが閉区間上で有限であることを使うのが安全である。 単に「孤立点だけだから可算」と書く場合は，第二可算性などの根拠を補う必要がある。

方針

最小多項式が実数上で既約な二次式に割り切れるため，$A-I_4$ は複素構造を与える。 可換な実行列を数える問題は，複素線形変換を数える問題に変わる。

典型ミス

複素次元 $4$ をそのまま答えると半分になる。求められているのは $M_4(\R)$ の部分空間としての実次元なので，最後に $2$ 倍する。

方針

係数 $t^{-n}$ の積分が発散するのは $n=1$ のときだけである。 $n=1$ では積分因子が $t$ になり，外側の $1/t$ が効く。 $n\ge2$ では積分因子が有限値に収束するため，右辺 $t^{-m}$ の可積分性がそのまま条件になる。

検算

$n\ge2,\ m=1$ では減衰係数の総量が有限なのに入力 $1/t$ の総量は無限である。 したがって解が有限値に落ち着くことはできない，という直観と一致する。

方針

$\sin x/x$ は区間の特性関数のフーリエ変換として扱える。 三乗積分は三重畳み込みの原点値に変換すると，折れ線関数の面積計算だけになる。

典型ミス

変換の規約によって $2\pi$ の位置が変わる。ここでは [数式]， [数式] の規約を使っている。