院試hub

東京大学 院試 過去問 解答例

東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2018年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

全7問。微分積分・解析3問・線形代数1問・微分方程式1問。テーマタグは3件（固有値・固有ベクトル・フーリエ変換・特性関数）。2017年度と共通のテーマは固有値・固有ベクトル。

最終更新:

このページで公開
解説7問と大問1問の途中式・最終答（全7問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき7問）
問題本文
非収録

東大 専門科目A 2018年度 院試 過去問の出題内容（全7問）

この7問の分野は微分積分・解析3問・線形代数1問・微分方程式1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問微分積分・解析平均値の極限—あり
第2問—二次多項式空間上の線形変換採点上の注意あり
第3問微分積分・解析極座標と平面領域の積分—あり
第4問—臨界点と可算性採点上の注意あり
第5問線形代数行列の可換環—あり
第6問微分方程式一次線形微分方程式の極限—あり
第7問微分積分・解析三乗 sinc 積分—あり

この年度の解説には典型ミス4件・採点上の注意2件・検算1件が付いています。

2018年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は2問に3テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第2問25大学・544問
フーリエ変換第7問14大学・91問
特性関数第7問6大学・12問

前年度（2017年度）との違い

大問数
2017年度 7問 → 2018年度 7問
両年度に出たテーマ
固有値・固有ベクトル
2018年度で新しく出たテーマ
フーリエ変換・特性関数
2017年度のページを見る

第1問 — 平均値の極限

方針

(1) は有限区間の寄与が 1/a1/a で消えることを見る。 (2) は「平均が AA に近づくなら，無限遠で AA に近い値を何度も取るはず」という 直観を背理法で定式化する。

典型ミス

(2) で f(xn)=Af(x_n)=A を要求してしまうと強すぎる。必要なのは f(xn)→Af(x_n)\to A であり，各段階で ∣f(xn)−A∣<1/n|f(x_n)-A|<1/n を満たす点を選べば十分である。

平均値の極限の途中式・最終答をPDFで見る

第2問 — 二次多項式空間上の線形変換

方針

抽象的な変換に見えるが，二次以下の多項式空間なので基底に作用させれば終わる。 重根の候補を絞った後，a=0a=0 を機械的に「重根だから不可」と判断しないことが重要である。

採点上の注意

特性多項式の convention は det⁡(λI−M)\det(\lambda I-M) で統一した。 det⁡(M−λI)\det(M-\lambda I) を使う場合は全体に符号が付くが，固有値と対角化可能性は同じである。

解答

基底を (1,x,x2)(1,x,x^2) とする。合成変換 U=S∘TU=S\circ T について U(1)=x2,U(x)=ax2−x,U(x2)=a2x2−2ax+1 U(1)=x^2,\qquad U(x)=a x^2-x,\qquad U(x^2)=a^2x^2-2ax+1 である。したがって表現行列は M=(0010−1−2a1aa2) M= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&-1&-2a\\ 1&a&a^2 \end{pmatrix} である。

(1) よって χU(λ)=det⁡(λI−M)=det⁡(λ0−10λ+12a−1−aλ−a2)=λ3+(1−a2)λ2+(a2−1)λ−1=(λ−1){λ2+(2−a2)λ+1}. \begin{aligned} \chi_U(\lambda) &=\det(\lambda I-M) \\ &=\det \begin{pmatrix} \lambda&0&-1\\ 0&\lambda+1&2a\\ -1&-a&\lambda-a^2 \end{pmatrix} \\ &=\lambda^3+(1-a^2)\lambda^2+(a^2-1)\lambda-1 \\ &=(\lambda-1)\{\lambda^2+(2-a^2)\lambda+1\}. \end{aligned}

(2) 対角化可能性は重根が出る場合だけを調べればよい。二次因子の判別式は (2−a2)2−4=a2(a2−4) (2-a^2)^2-4=a^2(a^2-4) である。また，二次因子に λ=1\lambda=1 を代入すると 4−a24-a^2 である。 したがって重根が起こる可能性は a=0,a=2,a=−2 a=0,\quad a=2,\quad a=-2 だけである。

a=0a=0 の場合

χU(λ)=(λ−1)(λ+1)2 \chi_U(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)^2 であるが， 1+x2,1−x2,x 1+x^2,\qquad 1-x^2,\qquad x はそれぞれ固有値 1,−1,−11,-1,-1 に属する一次独立な固有ベクトルである。 よって a=0a=0 では対角化可能である。

a=±2a=\pm2 の場合

このとき χU(λ)=(λ−1)3 \chi_U(\lambda)=(\lambda-1)^3 である。a=2a=2 では M−IM-I の零空間は (u,v,w)=(u,−2u,u) (u,v,w)=(u,-2u,u) で表され，一次元である。a=−2a=-2 でも零空間は (u,v,w)=(u,2u,u) (u,v,w)=(u,2u,u) で表され，一次元である。三次元空間で固有空間が一次元しかないため， a=±2a=\pm2 では対角化できない。

最終答

%

  1. χU(λ)=(λ−1){λ2+(2−a2)λ+1}\displaystyle \chi_U(\lambda)=(\lambda-1)\{\lambda^2+(2-a^2)\lambda+1\}.
  2. UU が対角化不能となるのは a=±2a=\pm2.

第3問 — 極座標と平面領域の積分

方針

極座標化した後，rr の上限が三乗根で出る。積分では g(θ)3g(\theta)^3 だけが現れるため， 三乗根を直接積分する必要はない。

典型ミス

cos⁡θ−sin⁡θ\cos\theta-\sin\theta の符号を見落とすと角度範囲を広く取りすぎる。 本問では x≥0x\ge0 と右辺の非負性を同時に使い，結局 0≤θ≤π/40\le\theta\le\pi/4 に絞る。

極座標と平面領域の積分の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 臨界点と可算性

方針

同じ値を取る点が一点に集まれば，平均値の定理でその近くに臨界点が発生する。 これが仮定と衝突する，という構造である。

採点上の注意

「可算」を示すには，各ファイバーが閉区間上で有限であることを使うのが安全である。 単に「孤立点だけだから可算」と書く場合は，第二可算性などの根拠を補う必要がある。

臨界点と可算性の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — 行列の可換環

方針

最小多項式が実数上で既約な二次式に割り切れるため，A−I4A-I_4 は複素構造を与える。 可換な実行列を数える問題は，複素線形変換を数える問題に変わる。

典型ミス

複素次元 44 をそのまま答えると半分になる。求められているのは M4(R)M_4(\R) の部分空間としての実次元なので，最後に 22 倍する。

行列の可換環の途中式・最終答をPDFで見る

第6問 — 一次線形微分方程式の極限

方針

係数 t−nt^{-n} の積分が発散するのは n=1n=1 のときだけである。 n=1n=1 では積分因子が tt になり，外側の 1/t1/t が効く。 n≥2n\ge2 では積分因子が有限値に収束するため，右辺 t−mt^{-m} の可積分性がそのまま条件になる。

検算

n≥2, m=1n\ge2,\ m=1 では減衰係数の総量が有限なのに入力 1/t1/t の総量は無限である。 したがって解が有限値に落ち着くことはできない，という直観と一致する。

一次線形微分方程式の極限の途中式・最終答をPDFで見る

第7問 — 三乗 sinc 積分

方針

sin⁡x/x\sin x/x は区間の特性関数のフーリエ変換として扱える。 三乗積分は三重畳み込みの原点値に変換すると，折れ線関数の面積計算だけになる。

典型ミス

変換の規約によって 2π2\pi の位置が変わる。ここでは [数式]， [数式] の規約を使っている。

三乗 sinc 積分の途中式・最終答をPDFで見る

東大 専門科目A 院試 過去問の収録20年度

  • 2026年度（全7問）

    円板上の重積分 ／ 像と核の直和分解 ／ べき級数とタウバー型定理

  • 2025年度（全7問）

    広義積分と漸近展開 ／ 射影された線形写像 ／ 反復正弦と log-sum-exp

  • 2024年度（全7問）

    巡回型行列 ／ 斉次関数の臨界点 ／ 負内積ベクトル族

  • 2023年度（全7問）

    交互成分行列 ／ 細い領域の二重積分 ／ 外積表現と対角化

  • 2022年度（全7問）

    線型写像の対角化 ／ 極座標による重積分 ／ ディリクレ積分

  • 2020年度（全7問）

    上三角行列の対角化条件 ／ 極座標領域上の対数積分 ／ 半円と補間二次関数の面積漸近

  • 2019年度（全7問）

    関数の極限と展開 ／ 直交行列と上三角分解 ／ 冪零行列の可換行列

  • 2018年度（このページ・全7問）

    平均値の極限 ／ 二次多項式空間上の線形変換 ／ 極座標と平面領域の積分

  • 2017年度（全7問）

    多項式空間の線形変換 ／ 反復正弦と級数 ／ 原点での連続性と全微分可能性

  • 2016年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    核空間と直和分解 ／ 奇数冪積分と一様収束 ／ 二乗根をもつ実行列

  • 2015年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    剰余で定まる線形写像 ／ 円板上の平均値 ／ 同相写像の軌道空間

  • 2014年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    線形写像と正定値性 ／ 乗法的Cauchy方程式 ／ 距離関数の微分

  • 2013年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    ハウスホルダー変換と回転 ／ 調和級数と奇偶部分和 ／ 交代形式への合同変換

  • 2012年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    交換子と対角化可能性 ／ 二変数関数の最大値 ／ フーリエ積分

  • 2011年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    対角化可能性と相似条件 ／ 特異積分の極限 ／ コンパクト開位相の基本閉性

  • 2010年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    階数低下と零固有値 ／ コーシー型核の積分と畳み込み ／ 有界列空間と収束列の閉性

  • 2007年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    広義固有空間と交換関係 ／ 偏微分可能性と極座標積分 ／ コンパクト集合の直積近傍

  • 2006年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    行基本変形と列空間 ／ 余弦積分と一様収束 ／ 双対空間と直和分解

  • 2005年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    実対称行列の固有条件 ／ 平坦関数と積分剰余 ／ 単調関数が誘導する距離

  • 2004年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    行列ノルムとスペクトル半径 ／ 同次性と極座標表示 ／ グラフ距離とコンパクト性