東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2015年度 院試 解答例・解説

(1) 基底を $$E=(1,x,x^2,x^3)$$ とする。$P$ は $x^4$ 以上の項を捨てる写像なので， $$f\in V\quad\Longrightarrow\quad P(f(x^2-a^2))\in V$$ である。また代入 $f\mapsto f(x^2-a^2)$ も剰余を取る写像 $P$ も線形である。 したがって $T$ は $V$ の線形変換である。

(2) 各基底ベクトルの像は $$\begin{aligned} T(1)&=1,\\ T(x)&=x^2-a^2,\\ T(x^2)&=P\{(x^2-a^2)^2\}=a^4-2a^2x^2,\\ T(x^3)&=P\{(x^2-a^2)^3\}=-a^6+3a^4x^2. \end{aligned}$$ したがって $E$ に関する表現行列は $$[T]_E= \begin{pmatrix} 1&-a^2&a^4&-a^6\\ 0&0&0&0\\ 0&1&-2a^2&3a^4\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

(3) 像は常に $\langle 1,x^2\rangle$ に含まれ，最初の2列 $(1,0)^{\mathsf T},(-a^2,1)^{\mathsf T}$ が独立であるから， [数式] よって [数式] である。一般の $$f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3$$ に対して $T(f)=0$ とおくと， $$\begin{cases} c_0-a^2c_1+a^4c_2-a^6c_3=0,\\ c_1-2a^2c_2+3a^4c_3=0. \end{cases}$$ $c_2=s,\ c_3=t$ とすれば $$c_1=2a^2s-3a^4t,\qquad c_0=a^4s-2a^6t.$$ したがって核の一組の基底として $$a^4+2a^2x+x^2,\qquad -2a^6-3a^4x+x^3$$ を取れる。

(4) 対角化可能性を調べる。$T(V)\subset W=\langle 1,x^2\rangle$ であり， $W$ 上の行列は基底 $(1,x^2)$ に関して $$\begin{pmatrix} 1&a^4\\ 0&-2a^2 \end{pmatrix}$$ である。したがって固有多項式は $$\lambda^2(\lambda-1)(\lambda+2a^2)$$ である。

零固有値の固有空間は [数式] で，次元は2である。よって問題になるのは $-2a^2=0$ または $-2a^2=1$ の場合だけである。

$a=0$ では零固有値の代数的重複度が3であるのに，零固有空間の次元は2である。 したがって対角化できない。

$a^2=-1/2$ では固有値1の代数的重複度が2になる。このとき $W$ 上の行列は $$\begin{pmatrix} 1&a^4\\ 0&1 \end{pmatrix}$$ であり，$a^4=1/4\ne0$ なので，固有値1の固有空間は1次元である。 したがってこの場合も対角化できない。

以上より，対角化可能であるための必要十分条件は $$a\ne0,\qquad a^2\ne -\frac12$$ である。

(1) 円板は原点に関して対称であるから [数式] また極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を用いると [数式] 同様に [数式]

(2) 次に $u$ を原点の近くでテイラー展開する。$u$ は $C^3$ 級なので， $$\begin{aligned} u(x,y) &=u(0,0)+u_x(0,0)x+u_y(0,0)y\\ &\quad+\frac12u_{xx}(0,0)x^2+u_{xy}(0,0)xy +\frac12u_{yy}(0,0)y^2+O((x^2+y^2)^{3/2}). \end{aligned}$$ 円板上で平均を取ると一次の項と $xy$ の項は消える。したがって [数式] 仮定より中括弧内は0であるから， [数式] よって求める極限は $$\lim_{\rho\to0}\frac{1}{\rho^2}O(\rho^3)=0$$ である。

(1) 自然な射影を $\pi:X\to X/\psi$ とする。 開集合 $U\subset X$ に対して $$\pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup_{n\in\Z}\psi^n(U)$$ である。各 $\psi^n$ は同相写像なので $\psi^n(U)$ は開集合であり， 右辺は開集合である。商位相の定義から，これは $\pi(U)$ が $X/\psi$ で開であることを意味する。したがって $\pi$ は開写像である。

(2) 次に $X=\R$，$\psi_a(x)=ax+1$ とする。

$a=1$ のときは整数平行移動による商であり， $$\R/\psi_1\simeq \R/\Z\simeq S^1$$ である。したがってハウスドルフ空間である。

$a\ne1$ とする。このとき $$p=\frac{1}{1-a}$$ は固定点である。$x\ne p$ に対して $$\psi_a^n(x)-p=a^n(x-p)$$ が成り立つ。$0<a<1$ なら $n\to+\infty$ で $\psi_a^n(x)\to p$，$a>1$ なら $n\to-\infty$ で $\psi_a^n(x)\to p$ である。

したがって同値関係 $$R=\{(x,y)\in\R^2\mid y=\psi_a^n(x)\text{ for some }n\in\Z\}$$ は閉集合ではない。実際，$x\ne p$ を固定すると， $(x,\psi_a^n(x))\in R$ の列が $(x,p)$ に収束するが， $x$ と $p$ は同じ軌道に属さない。 ハウスドルフな商空間では同値関係のグラフは閉でなければならないので， $a\ne1$ では商空間はハウスドルフではない。

(1) 標準基底を $e_1,\ldots,e_n$，双対基底を $\varepsilon^1,\ldots,\varepsilon^n$ とする。 行列単位 $E_{ij}$ は $$E_{ij}v=\varepsilon^j(v)e_i$$ と書けるので， $$G^{-1}(F(E_{ij}))=\varepsilon^j\otimes e_i.$$ したがって $$(E\circ G^{-1}\circ F)(E_{ij}) =E(\varepsilon^j\otimes e_i) =\varepsilon^j(e_i) =\delta_{ij}.$$ つまりこの合成写像は通常のトレースである。

(2) 次に $A,B,X\in M_n(\R)$ とする。 [数式] を $T(v)=\varphi(v)w$ という階数1型で書くと， これは $G(\varphi\otimes w)$ である。 $F(A)^\vee$ は双対空間上で $$F(A)^\vee(\varphi)=\varphi\circ F(A)$$ として作用するので， $$\begin{aligned} G_*\circ H(F(A)\otimes F(B))(T) &=G\left((\varphi\circ F(A))\otimes F(B)w\right)\\ &:\ v\longmapsto \varphi(A v)\,B w. \end{aligned}$$ 行列で表せば，これは $$T\longmapsto BTA$$ である。最後に $F^*$ で $M_n(\R)$ へ戻しても，同じ行列積として $$f_{A,B}(X)=BXA$$ を得る。

写像 $$\phi(x)=1+\frac{1}{1+x+x^2}$$ を考える。分母は $$x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0$$ なので，$\phi$ はすべての実数で定義される。また $$1<\phi(x)\le 1+\frac{4}{3}=\frac73$$ であるから，$a_1$ 以降は $1<a_n\le 7/3$ を満たす。

$x\ge1$ では $$\phi'(x)=-\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$$ であり， $$|\phi'(x)|\le \frac13$$ が成り立つ。したがって $n\ge1$ について $$|a_{n+1}-\alpha|\le \frac13|a_n-\alpha|$$ となる固定点 $\alpha$ が存在すれば，列はその値に収束する。

固定点方程式は $$\alpha=1+\frac{1}{1+\alpha+\alpha^2}$$ である。これを整理すると $$(\alpha-1)(1+\alpha+\alpha^2)=1,$$ すなわち $$\alpha^3-1=1$$ である。よって $$\alpha=\sqrt[3]{2}.$$ 実際，$\sqrt[3]{2}>1$ なので上の縮小評価の範囲に入っている。 したがって任意の実初期値から定まる列は $$\sqrt[3]{2}$$ へ収束する。

(1) 積分曲線を $(x(t),y(t))$ とする。$y(t)\ne0$ の範囲で [数式] したがって $$\frac{x(t)}{y(t)}=\frac{x_0}{y_0}+2t.$$ これを $y'=xy$ に代入すると $$y'=\left(\frac{x_0}{y_0}+2t\right)y^2.$$ $z=1/y$ とおけば $$z'=-\frac{x_0}{y_0}-2t,$$ なので $$\frac{1}{y(t)}=\frac1{y_0}-\frac{x_0}{y_0}t-t^2.$$ よって $$y(t)=\frac{y_0}{1-x_0t-y_0t^2}, \qquad x(t)=\frac{x_0+2y_0t}{1-x_0t-y_0t^2}.$$ 仮定 $x_0^2+4y_0<0$ により分母は実零点を持たない。

(2) 次に $$u=x+y,\qquad v=x-y$$ とおくと $$x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2},$$ かつ [数式] 曲線部分は $$v=\frac{(u-1)^2}{16},\qquad -3\le u\le0$$ で表される。したがってその寄与は [数式] 残る3本の線分のうち，$u=0$ と $v=0$ の部分の寄与は0である。 $u=-3,\ 0\le v\le1$ の部分は [数式] よって [数式]

(3) 最後に $t=1$ の流れ $$\varphi_1(x,y)= \left(\frac{x+2y}{1-x-y},\frac{y}{1-x-y}\right)$$ を用いる。直接計算すると [数式] したがって [数式] $u=x+y$ では $1-x-y=1-u$ である。曲線部分の寄与は [数式] 線分 $u=0$ と $v=0$ の寄与は再び0であり，線分 $u=-3$ の寄与は [数式] よって $$I(1)=\frac{2\log4-3}{32}+\frac{3}{32} =\frac{\log4}{16} =\frac{\log2}{8}.$$

(1) まず $x=1/t$ とおくと [数式] よってこの積分は0である。

(2) 次に $0<\arg z<2\pi$ の分枝で $$f(z)=\frac{(\log z)^3}{1+z^2}$$ を考える。正の実軸を切り口にしたキー ホール型の閉曲線をとり， 極 $i,-i$ を内部に含め，原点は含めないようにする。

(3) 上側の正の実軸では $\log z=\log x$，下側では $\log z=\log x+2\pi i$ である。大円と小円の寄与を極限で消すと， 周回積分は [数式] に収束する。展開して，先に示した一次対数の積分が0であることを使うと [数式]

一方，留数は [数式] したがって [数式] 両者を比較して $$-6\pi i\,I+4\pi^4 i=\frac{13}{4}\pi^4 i.$$ よって $$I=\frac{\pi^3}{8}.$$