東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2025年度 院試 解答例・解説

方針

非絶対収束の積分なので，形式的に $(x+y)^{-1}$ をべき展開してはいけない。部分積分で振動を利用し，余りを Dirichlet の判定法で評価するのが安全である。

検算

先頭項は $\int_0^\infty \sin y\,dy$ を Abel 的に見た値 $1$ に対応して $1/x$ になる。次に現れる有限な寄与は $-2/x^3$ であり，$1/x^2$ 項が消えることが答の特徴である。

方針

4次元のまま射影行列を書くよりも，$V=z^\perp$ を $(u,v,w,-w)$ で座標化する方が計算量が少ない。

典型ミス

判別式が $0$ の場合を「実根だから可」としてはいけない。この行列は companion 型で，重根を持つと最小多項式にも重根が残るため，対角化条件から外れる。

方針

前半は「全ての $x$」を見る必要があるが，1回 $\sin$ を通すと値域が $[-1,1]$ に入る。後半は log-sum-exp の標準評価で，誤差が $\log3/n$ 以下に一様に抑えられる。

試験で書くべきポイント

点ごとの極限だけで終えると一様収束の判定にならない。上限評価を明示し，その上限が定義域全体で共通であることを書く。

方針

これは「条件を満たす対称双線形写像」を表現する普遍対象を作る問題である。条件は $V'\times V'$ 上で消えることに言い換えられ，あとは対称テンソルの商を取ればよい。

典型ミス

$V\otimes V$ をそのまま使うと，対称性を二重に管理する必要が出る。最初から $\operatorname{Sym}^2V$ を使うと，双線形かつ対称という条件が自動的に入る。

方針

第1小問は「コンパクト集合が有限集合しかない」位相を作ると簡単である。補可算位相は一点集合が開でないため，離散位相への恒等写像は連続でない。

試験で書くべきポイント

距離空間の場合は列コンパクト性を使う。非連続性から悪い収束列を作り，その像の収束先の逆像を取り除いたコンパクト集合を作るのが矛盾の核心である。

方針

積分核の虚部がすでに与えられているので，境界関数を Poisson 核で表せばよい。実部が Poisson 積分，虚部が共役 Poisson 積分になっている。

検算

$z=0$ では核の虚部が $0$ なので $v(0)=0$。上の $f(0)=1/2$ は実数であり，確かに虚部は $0$ である。

方針

$1-x$ が特解になっていることを見抜くと Riccati 方程式が Bernoulli 型に落ちる。$u=1/w$ の線形化まで書ければ，あとは積分因子の計算である。

典型ミス

一般解を書いた後，分母が正の領域で消える場合を無視してはいけない。問題は「正の実数全体」で定義された解を扱っているため，爆発するパラメータは除外する必要がある。