東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2005年度 院試 解答例・解説

$B$ を $$B= \begin{pmatrix} x & y\\ y & z \end{pmatrix} \qquad (x,y,z\in\mathbb{R})$$ とおく。$B$ は零でないので $(x,y,z)\ne(0,0,0)$ である。与えられた行列を $$A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$$ とすると、直接計算により $$ABA^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 16x+8y+z & -16x-4y\\ -16x-4y & 16x \end{pmatrix}.$$ したがって $ABA^{\mathsf T}=\alpha B$ は $$\begin{cases} 16x+8y+z=\alpha x,\\ -16x-4y=\alpha y,\\ 16x=\alpha z \end{cases}$$ と同値である。これは $(x,y,z)$ が線形写像 $$(x,y,z)\longmapsto (16x+8y+z,\,-16x-4y,\,16x)$$ の固有ベクトルであることを意味する。

この線形写像の行列を $M$ と書くと $$M= \begin{pmatrix} 16&8&1\\ -16&-4&0\\ 16&0&0 \end{pmatrix}$$ であり、 $$\det(M-\alpha I) =-(\alpha-4)^3$$ である。よって可能な $\alpha$ は $\alpha=4$ のみである。

$\alpha=4$ として連立方程式を解くと $$-16x-8y=0,\qquad 16x-4z=0$$ から $$y=-2x,\qquad z=4x$$ を得る。$x=0$ なら $B=0$ となるため、$x\ne0$ でなければならない。ゆえに $$B= c \begin{pmatrix} 1&-2\\ -2&4 \end{pmatrix} \qquad (c\in\mathbb{R}\setminus\{0\})$$ がすべてである。

(1) $x>0$ では $f(x)=e^{-1/x}$ は通常の合成関数として $C^\infty$ 級であり、$x<0$ では恒等的に $0$ である。問題は $x=0$ だけである。

$x>0$ において、任意の $m\ge0$ に対し $$f^{(m)}(x)=P_m(1/x)e^{-1/x}$$ となる多項式 $P_m$ が存在することを示す。$m=0$ は $P_0=1$ でよい。もし成り立つなら $$\frac{d}{dx}\{P_m(1/x)e^{-1/x}\} = \left\{-x^{-2}P_m'(1/x)+x^{-2}P_m(1/x)\right\}e^{-1/x}$$ であり、右辺は再び $1/x$ の多項式に $e^{-1/x}$ を掛けた形である。したがって帰納法で従う。

さらに任意の整数 $N\ge0$ に対し $$\lim_{x\to+0} x^{-N}e^{-1/x}=0$$ である。よって各 $m$ について $$\lim_{x\to+0} f^{(m)}(x)=0$$ となる。$x<0$ 側ではすべての導関数が $0$ であるから、$0$ での右極限と左極限が一致し、すべての階数で $f^{(m)}(0)=0$ と定められる。したがって $f$ は $\mathbb{R}$ 上 $C^\infty$ 級である。

(2) $f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$ なので、積分剰余形の Taylor 公式から $$f(x)= \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f^{(n)}(t)\,dt$$ が成り立つ。$x<0$ のときは積分区間上で $f^{(n)}(t)=0$ であり、両辺とも $0$ である。したがって $$p_n(X)=\frac{X^{n-1}}{(n-1)!}$$ が求める多項式である。

(3) 一意であることを示す。$q(X)$ も同じ条件を満たすとし、 $$r(X)=q(X)-\frac{X^{n-1}}{(n-1)!}$$ とおく。このとき $x>0$ で $$\int_0^x r(x-t)f^{(n)}(t)\,dt=0$$ である。

$g(t)=f^{(n)}(t)$ を $t>0$ 上の関数とみる。$g$ は恒等的に $0$ ではなく、指数減衰を含むため Laplace 変換 $$G(s)=\int_0^\infty e^{-st}g(t)\,dt \qquad (s>0)$$ が存在し、恒等的には $0$ でない。上の畳み込み恒等式を Laplace 変換すると $$R(s)G(s)=0$$ を得る。ただし $$R(s)=\int_0^\infty e^{-su}r(u)\,du$$ は $s>0$ 上で定義される有理関数である。$G$ は恒等的に $0$ でないので、$R(s)$ は区間上で恒等的に $0$ である。多項式 $r$ の Laplace 変換が恒等的に $0$ になるのは $r=0$ のときだけだから、$q=p_n$ である。

(1) $d_f(x,y)=|f(x)-f(y)|$ は非負で対称であり、三角不等式は実数の絶対値の三角不等式から従う。また、$d_f(x,y)=0$ なら $f(x)=f(y)$ である。$f$ は狭義単調増加だから単射であり、したがって $x=y$ である。よって $d_f$ は距離である。

(2) $f$ がある点 $c\in\mathbb{R}_+$ で連続でないと仮定する。単調関数なので左極限 $$L_-=\lim_{x\to c-0} f(x)$$ と右極限 $$L_+=\lim_{x\to c+0} f(x)$$ は存在する。連続でなければ、少なくとも片側で $f(c)$ との間に隙間がある。

例えば $L_-<f(c)$ の場合を考える。$x_m<c$、$x_m\to c$ となる列を取ると $$f(x_m)\to L_-$$ であるから、$(x_m)$ は距離 $d_f$ に関して Cauchy 列である。完備性より、ある $x\in\mathbb{R}_+$ に $d_f$ 収束する。これは $$f(x_m)\to f(x)$$ を意味するので $f(x)=L_-$ である。

しかし $x<c$ なら狭義単調性により $f(x)<L_-$、$x\ge c$ なら $f(x)\ge f(c)>L_-$ であり、どちらも矛盾する。右側に隙間がある場合も、$x_m>c$、$x_m\to c$ として同様に矛盾する。したがって $f$ は連続である。

(3) $f$ が連続かつ狭義単調増加であるとき、$f$ は $\mathbb{R}_+$ を区間 $$I= \left( \lim_{x\to+0}f(x),\, \lim_{x\to+\infty}f(x) \right)$$ へ等長に写す。ただし端点が無限大の場合は拡張実数の意味で読む。すなわち $$d_f(x,y)=|f(x)-f(y)|$$ であるから、$(\mathbb{R}_+,d_f)$ の完備性は、通常の距離をもつ $I$ の完備性と同値である。

実数直線の部分集合としての開区間 $I$ が完備であるためには、有限の端点を持ってはならない。左端が有限なら、その左端に近づく $I$ 内の列は Cauchy だが $I$ 内で収束しない。右端が有限の場合も同じである。逆に $$I=\mathbb{R}$$ なら完備である。

したがって必要十分条件は $$\lim_{x\to+0}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$ である。

(1) まず $$F(a,b,x,y)=\operatorname{tr}(xayb-xbya)$$ とおく。これは $a,b,x,y$ のそれぞれについて線形である。また $$F(b,a,x,y)=-F(a,b,x,y)$$ であり、さらに跡の巡回性を用いると $$\begin{aligned} F(a,b,y,x) &=\operatorname{tr}(yaxb-ybxa)\\ &=\operatorname{tr}(xbya-xayb)\\ &=-F(a,b,x,y). \end{aligned}$$ したがって $F$ は $(a,b)$ について交代的、かつ $(x,y)$ について交代的である。外積の普遍性により、ただ一つの双線形形式 $$\phi:\wedge^2 V\times \wedge^2 V\to\mathbb{R}$$ が存在し、 $$\phi(a\wedge b,x\wedge y)=F(a,b,x,y)$$ を満たす。

(2) 行列単位の積は $$e_{ij}e_{kl}=\delta_{jk}e_{il}$$ である。したがって $$e_{ij}e_{kl}e_{pq} = \delta_{jk}\delta_{lp}e_{iq}$$ であり、 $$\operatorname{tr}(e_{ij}e_{kl}e_{pq}) = \delta_{jk}\delta_{lp}\delta_{iq}$$ となる。

(3) $u\in\wedge^2V$ を $$u=\frac12 \sum_{i,j,k,l} c_{ij,kl}\,e_{ij}\wedge e_{kl}$$ と書く。ただし $$c_{kl,ij}=-c_{ij,kl}$$ とする。この表示で、すべての係数 $c_{ij,kl}$ が $0$ であることと $u=0$ であることは同値である。

任意の添字 $(i,j,k,l)$ に対し、$x=e_{li}$、$y=e_{jk}$ とおく。上の積公式を $4$ 個の行列の積に用いると $$\begin{aligned} &\phi(e_{ab}\wedge e_{cd},\,e_{li}\wedge e_{jk})\\ &\quad = \delta_{ia}\delta_{bj}\delta_{kc}\delta_{dl} - \delta_{ic}\delta_{dj}\delta_{ka}\delta_{bl}. \end{aligned}$$ したがって、反対称条件 $c_{kl,ij}=-c_{ij,kl}$ と係数 $\frac12$ に注意すると、$u$ との pairing は $$\phi(u,e_{li}\wedge e_{jk}) = \frac12\{c_{ij,kl}-c_{kl,ij}\} = c_{ij,kl}$$ である。もしすべての $w\in\wedge^2V$ に対して $\phi(u,w)=0$ なら、特に $w=e_{li}\wedge e_{jk}$ と取って $$c_{ij,kl}=0$$ がすべての添字について成り立つ。ゆえに $u=0$ である。すなわち $\phi$ は非退化である。

固定点の基本観察 $v\in S^1$ が $f_L$ の固定点であることは $$\frac{Lv}{|Lv|}=v$$ と同値である。したがって、ある正の実数 $\lambda>0$ が存在して $$Lv=\lambda v$$ となることと同値である。つまり、固定点は $L$ の正の実固有値に対応する固有方向から生じる。ひとつの固有直線は円周上の $2$ 点を与える。

また合成については、方向だけを見る写像なので $$f_L^m=f_{L^m}$$ である。

(a) $\det L<0$ なら、$L$ は互いに異符号の実固有値をもつ。正の固有値に対応する固有直線だけが $f_L$ の固定点を与えるので $$\#\operatorname{Fix}(f_L)=2.$$ 一方 $L^2$ の固有値は正であり、通常は二つの固有直線が固定点を与える。もし固有値が $\lambda$ と $-\lambda$ の形であれば $L^2=\lambda^2 I$ となり、$f_L^2$ は恒等写像になる。この場合も固定点は無限個であり、やはり $2$ より多い。したがって $\det L<0$ なら (a) の条件を満たす。

逆に $\det L>0$ のとき、実固有値があれば二つとも同符号である。二つとも正なら $f_L$ と $f_L^2$ の固定方向は同じであり、二つとも負なら $f_L$ は固定点を持たない。複素固有値の場合も固定点はない。よって (a) は成り立たない。

したがって (a) の集合は $$\{L\in GL(2,\mathbb{R})\mid \det L<0\}$$ であり、これは開集合である。

(b) (b) の集合は開ではない。反例として $$L_0= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}$$ を取る。このとき $$L_0^m= \begin{pmatrix} 1&m\\ 0&1 \end{pmatrix}$$ であり、各 $m\ge1$ について正の固有値 $1$ をもち、固有直線は一つである。したがって $$\#\operatorname{Fix}(f_{L_0}^m)=2$$ であり、$L_0$ は (b) の集合に属する。

しかし任意に小さい $\varepsilon>0$ に対し $$L_\varepsilon= \begin{pmatrix} 1&1\\ -\varepsilon&1 \end{pmatrix}$$ は $L_0$ に近いが、固有値は $$1\pm i\sqrt{\varepsilon}$$ であり実固有方向を持たない。したがって $f_{L_\varepsilon}$ は固定点を持たず、(b) の集合に属さない。よって (b) は開集合ではない。

(1) $$w(z)=\frac{z-a}{z-b}$$ とおく。$z\in\mathbb{C}\setminus[a,b]$ に対し、$w(z)$ は $0$ にならず、また負の実軸上の値を取らない。実際、$w(z)$ が負の実数なら、$z-a$ と $z-b$ は反対向きの実数倍であり、$z$ は実軸上で $a$ と $b$ の間にあることになる。

したがって主値対数を用いて $$\operatorname{Log} w(z)$$ を定義すれば、これは $\mathbb{C}\setminus[a,b]$ 上の一価正則関数である。$x>b$ では $(x-a)/(x-b)>0$ なので、この正則関数は通常の実対数 $$\log\frac{x-a}{x-b}$$ と一致する。

(2) 上で定めた枝を $$L(z)=\operatorname{Log}\frac{z-a}{z-b}$$ と書く。円周の内側から線分 $[a,b]$ を除いた領域で $e^zL(z)$ は正則である。線分の上側と下側での境界値を比べる。

$x\in(a,b)$ とすると、$(x-a)/(x-b)$ は負の実数である。上側から近づくと偏角は $-\pi$、下側から近づくと偏角は $+\pi$ になるので $$L_+(x)-L_-(x)=-2\pi i$$ である。

切断の上下を含む境界積分を考えると、外側の円周積分はこの jump の寄与で決まる。向きに注意すると $$\begin{aligned} \int_C e^zL(z)\,dz &= -\int_a^b e^x\{L_+(x)-L_-(x)\}\,dx\\ &= 2\pi i\int_a^b e^x\,dx\\ &= 2\pi i(e^b-e^a). \end{aligned}$$

条件 (a) から条件 (b) 変数変換 $s=t-r$ により $$(\varphi*f)(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(s)f(t-s)\,ds$$ と書ける。$f$ は有界なので、ある $M>0$ に対し $|f(t)|\le M$ が成り立つ。

$\varepsilon>0$ を任意に取る。$\varphi$ は非負で可積分なので、十分大きい $R>0$ を取れば $$\int_{|s|>R}\varphi(s)\,ds < \frac{\varepsilon}{M+|A|+1}$$ とできる。一方、仮定 (a) より、$t\to\infty$ のとき $f(t-s)\to A$ は $|s|\le R$ 上で一様に成り立つ。したがって十分大きい $t$ について $$|f(t-s)-A|<\varepsilon \qquad (|s|\le R)$$ である。

よって $$\begin{aligned} &\left| (\varphi*f)(t) - A\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(s)\,ds \right|\\ &\quad\le \int_{|s|\le R}\varphi(s)|f(t-s)-A|\,ds +\int_{|s|>R}\varphi(s)|f(t-s)-A|\,ds\\ &\quad\le \varepsilon\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(s)\,ds +(M+|A|)\int_{|s|>R}\varphi(s)\,ds. \end{aligned}$$ 右辺は任意に小さくできるので (b) が従う。

条件 (b) から条件 (a) $f$ は一様連続である。$\varepsilon>0$ に対し、ある $\delta>0$ が存在して $$|u-v|\le\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(u)-f(v)|<\varepsilon$$ となる。

ここで $$\varphi_\delta(s)= \begin{cases} 1,&0\le s\le\delta,\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases}$$ を取ると、$\varphi_\delta\in S$ である。仮定 (b) より $$\int_0^\delta f(t-s)\,ds \longrightarrow A\delta \qquad (t\to\infty)$$ である。

一方、$0\le s\le\delta$ では $|t-(t-s)|\le\delta$ だから $$|f(t)-f(t-s)|<\varepsilon$$ である。したがって $$\begin{aligned} |f(t)-A| &\le \left| f(t)-\frac1\delta\int_0^\delta f(t-s)\,ds \right| + \left| \frac1\delta\int_0^\delta f(t-s)\,ds-A \right|\\ &\le \varepsilon + \left| \frac1\delta\int_0^\delta f(t-s)\,ds-A \right|. \end{aligned}$$ $t\to\infty$ とすると右辺の第二項は $0$ へ収束する。$\varepsilon>0$ は任意であるから $$f(t)\to A$$ が従う。よって (a) と (b) は同値である。