東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2023年度 院試 解答例・解説

方針

行列の成分を1つずつ追うより，奇数成分ベクトルと偶数成分ベクトルに分けると2次元問題に落ちる。

検算

$\dim\ker A=2n-2$ と $\operatorname{rank}A=2$ が階数・退化次数の関係と一致している。

方針

角度が $\pi/R^2$ という非常に細い領域なので，$y$ は一様に $0$ へ近づく。面積の細さと半径方向の $R^2$ スケールが打ち消し合い，有限値 $\pi/2$ が残る。

典型ミス

$\cos y$ を単に $1$ に置き換えるだけではなく，領域全体で $y\to0$ が一様であることを確認する必要がある。

方針

外積は「一次独立な $r$ 本のベクトル」を検出する。核があれば外積にも核が生じる。対角化可能性については，Jordan ブロックの冪零部分が外積表現にも残ることを見る。

試験で書くべきポイント

第2小問では $f$ が同型なので固有値が0でない。この点を書いておくと，外積表現上で Jordan 成分が消えない理由が明確になる。

方針

これは Arzela--Ascoli 型の問題である。像の有界性と等長性による一様連続性が揃っているため，稠密集合上の対角線論法が使える。

典型ミス

各点ごとの収束部分列は点 $x$ に依存してよい。第2小問では全ての点で同時に働く1つの部分列が必要なので，可算稠密集合を使う。

方針

平均0の周期関数をそのまま積分せず，原始関数 $g_t$ を使って部分積分する。高速振動の寄与は平均0により1次で消える。

検算

$|g_t|\le t$ だけからでも $I(t)=O(t)$ は分かるが，極限値を出すには $g_t/t$ の平均が0であることまで使う。

方針

$\sin\pi z$ を分母に持つ有理型関数は，整数点で $(-1)^n$ を生む典型的な留数計算である。追加の極 $\pm a/2$ の留数を忘れない。

典型ミス

$n=0$ の整数極も全留数和に含まれる。これを落とすと $1/(2a^2)$ の項がずれる。

方針

まず $x=-y'$ で変数を減らし，$z''+z=0$ を導く。境界条件で $z$ が決まれば，残りは共振項を持つ2階線形方程式である。

検算

$z=\cos t$ なら $z'(2\pi)=0$，また得られた $y$ は $y(2\pi)=0$，$x=-y'$ は $x(0)=0$ を満たす。