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東京大学 院試 過去問 解答例

東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

全7問。位相・幾何1問・線形代数1問・微分積分・解析1問。テーマタグは5件（固有値・固有ベクトル・線形空間・基底・重積分と極座標）。2022年度と共通のテーマは固有値・固有ベクトル・重積分と極座標・一様収束。

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解説7問と大問1問の途中式・最終答（全7問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき7問）
問題本文
非収録

東大 専門科目A 2023年度 院試 過去問の出題内容（全7問）

この7問の分野は位相・幾何1問・線形代数1問・微分積分・解析1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問線形代数交互成分行列—あり
第2問微分積分・解析細い領域の二重積分—あり
第3問—外積表現と対角化—あり
第4問位相・幾何等長変換族のコンパクト性—あり
第5問—高速振動積分—あり
第6問—留数計算—あり
第7問—境界値問題—あり

この年度の解説には検算3件・典型ミス3件・試験で書くべきポイント1件が付いています。

2023年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は5問に5テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第1・3問25大学・544問
線形空間・基底第1問21大学・152問
重積分と極座標第2問23大学・142問
留数定理第6問18大学・126問
一様収束第4問14大学・63問

前年度（2022年度）との違い

大問数
2022年度 7問 → 2023年度 7問
2023年度で新しく出たテーマ
線形空間・基底・留数定理
2022年度のページを見る

第1問 — 交互成分行列

方針

行列の成分を1つずつ追うより，奇数成分ベクトルと偶数成分ベクトルに分けると2次元問題に落ちる。

検算

dim⁡ker⁡A=2n−2\dim\ker A=2n-2 と rank⁡A=2\operatorname{rank}A=2 が階数・退化次数の関係と一致している。

解答

(1) 奇数番目成分だけが 11 のベクトルを u=(1,0,1,0,…,1,0)T u=(1,0,1,0,\ldots,1,0)^T 偶数番目成分だけが 11 のベクトルを v=(0,1,0,1,…,0,1)T v=(0,1,0,1,\ldots,0,1)^T とおく。行列 AA の各行は，奇数行なら xuT+yvTxu^T+yv^T，偶数行なら yuT+xvTyu^T+xv^T である。x≠yx\ne y なので，行空間は uT,vTu^T,v^T の張る2次元空間である。従って rank⁡A=2. \operatorname{rank}A=2.

(2) 核は uTξ=0,vTξ=0 u^T\xi=0,\qquad v^T\xi=0 で与えられる。よって一つの基底は e2k−1−e1(k=2,…,n),e2k−e2(k=2,…,n) e_{2k-1}-e_1\quad (k=2,\ldots,n),\qquad e_{2k}-e_2\quad (k=2,\ldots,n) である。

(3) 像の2次元部分空間 ⟨u,v⟩\langle u,v\rangle 上では Au=n(xu+yv),Av=n(yu+xv) A u=n(xu+yv),\qquad A v=n(yu+xv) である。従ってこの部分空間上の表現行列は n(xyyx) n\begin{pmatrix}x&y\\ y&x\end{pmatrix} であり，固有値は n(x+y)n(x+y) と n(x−y)n(x-y) である。残りの 2n−22n-2 次元は核であるから ΦA(t)=t2n−2{t−n(x+y)}{t−n(x−y)}. \Phi_A(t)=t^{2n-2}\{t-n(x+y)\}\{t-n(x-y)\}.

最終答

(1) rank⁡A=2\operatorname{rank}A=2。(2) 核の基底は e2k−1−e1, e2k−e2 (k=2,…,n)e_{2k-1}-e_1,\ e_{2k}-e_2\ (k=2,\ldots,n)。(3) ΦA(t)=t2n−2(t−n(x+y))(t−n(x−y))\Phi_A(t)=t^{2n-2}(t-n(x+y))(t-n(x-y))。

第2問 — 細い領域の二重積分

方針

角度が π/R2\pi/R^2 という非常に細い領域なので，yy は一様に 00 へ近づく。面積の細さと半径方向の R2R^2 スケールが打ち消し合い，有限値 π/2\pi/2 が残る。

典型ミス

cos⁡y\cos y を単に 11 に置き換えるだけではなく，領域全体で y→0y\to0 が一様であることを確認する必要がある。

細い領域の二重積分の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 外積表現と対角化

方針

外積は「一次独立な rr 本のベクトル」を検出する。核があれば外積にも核が生じる。対角化可能性については，Jordan ブロックの冪零部分が外積表現にも残ることを見る。

試験で書くべきポイント

第2小問では ff が同型なので固有値が0でない。この点を書いておくと，外積表現上で Jordan 成分が消えない理由が明確になる。

外積表現と対角化の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 等長変換族のコンパクト性

方針

これは Arzela--Ascoli 型の問題である。像の有界性と等長性による一様連続性が揃っているため，稠密集合上の対角線論法が使える。

典型ミス

各点ごとの収束部分列は点 xx に依存してよい。第2小問では全ての点で同時に働く1つの部分列が必要なので，可算稠密集合を使う。

等長変換族のコンパクト性の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — 高速振動積分

方針

平均0の周期関数をそのまま積分せず，原始関数 gtg_t を使って部分積分する。高速振動の寄与は平均0により1次で消える。

検算

∣gt∣≤t|g_t|\le t だけからでも I(t)=O(t)I(t)=O(t) は分かるが，極限値を出すには gt/tg_t/t の平均が0であることまで使う。

高速振動積分の途中式・最終答をPDFで見る

第6問 — 留数計算

方針

sin⁡πz\sin\pi z を分母に持つ有理型関数は，整数点で (−1)n(-1)^n を生む典型的な留数計算である。追加の極 ±a/2\pm a/2 の留数を忘れない。

典型ミス

n=0n=0 の整数極も全留数和に含まれる。これを落とすと 1/(2a2)1/(2a^2) の項がずれる。

留数計算の途中式・最終答をPDFで見る

第7問 — 境界値問題

方針

まず x=−y′x=-y' で変数を減らし，z′′+z=0z''+z=0 を導く。境界条件で zz が決まれば，残りは共振項を持つ2階線形方程式である。

検算

z=cos⁡tz=\cos t なら z′(2π)=0z'(2\pi)=0，また得られた yy は y(2π)=0y(2\pi)=0，x=−y′x=-y' は x(0)=0x(0)=0 を満たす。

境界値問題の途中式・最終答をPDFで見る

東大 専門科目A 院試 過去問の収録20年度

  • 2026年度（全7問）

    円板上の重積分 ／ 像と核の直和分解 ／ べき級数とタウバー型定理

  • 2025年度（全7問）

    広義積分と漸近展開 ／ 射影された線形写像 ／ 反復正弦と log-sum-exp

  • 2024年度（全7問）

    巡回型行列 ／ 斉次関数の臨界点 ／ 負内積ベクトル族

  • 2023年度（このページ・全7問）

    交互成分行列 ／ 細い領域の二重積分 ／ 外積表現と対角化

  • 2022年度（全7問）

    線型写像の対角化 ／ 極座標による重積分 ／ ディリクレ積分

  • 2020年度（全7問）

    上三角行列の対角化条件 ／ 極座標領域上の対数積分 ／ 半円と補間二次関数の面積漸近

  • 2019年度（全7問）

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  • 2018年度（全7問）

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  • 2017年度（全7問）

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  • 2016年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    核空間と直和分解 ／ 奇数冪積分と一様収束 ／ 二乗根をもつ実行列

  • 2015年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    剰余で定まる線形写像 ／ 円板上の平均値 ／ 同相写像の軌道空間

  • 2014年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    線形写像と正定値性 ／ 乗法的Cauchy方程式 ／ 距離関数の微分

  • 2013年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    ハウスホルダー変換と回転 ／ 調和級数と奇偶部分和 ／ 交代形式への合同変換

  • 2012年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    交換子と対角化可能性 ／ 二変数関数の最大値 ／ フーリエ積分

  • 2011年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    対角化可能性と相似条件 ／ 特異積分の極限 ／ コンパクト開位相の基本閉性

  • 2010年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    階数低下と零固有値 ／ コーシー型核の積分と畳み込み ／ 有界列空間と収束列の閉性

  • 2007年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    広義固有空間と交換関係 ／ 偏微分可能性と極座標積分 ／ コンパクト集合の直積近傍

  • 2006年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    行基本変形と列空間 ／ 余弦積分と一様収束 ／ 双対空間と直和分解

  • 2005年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    実対称行列の固有条件 ／ 平坦関数と積分剰余 ／ 単調関数が誘導する距離

  • 2004年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    行列ノルムとスペクトル半径 ／ 同次性と極座標表示 ／ グラフ距離とコンパクト性