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東京大学 院試 過去問 解答例

東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

全7問。微分積分・解析3問・線形代数1問。テーマタグは2件（固有値・固有ベクトル・線形空間・基底）。2023年度と共通のテーマは固有値・固有ベクトル・線形空間・基底。

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収録20年度分の解答PDF：東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A（￥3,200・紙面見本あり）

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解説7問と大問1問の途中式・最終答（全7問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき7問）
問題本文
非収録

東大 専門科目A 2024年度 院試 過去問の出題内容（全7問）

この7問の分野は微分積分・解析3問・線形代数1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問線形代数巡回型行列—あり
第2問微分積分・解析斉次関数の臨界点—あり
第3問—負内積ベクトル族—あり
第4問微分積分・解析床関数を含む積分—あり
第5問—有理数軸に付く位相—あり
第6問微分積分・解析対数積分—あり
第7問—非線形系の位相共役—あり

この年度の解説には検算3件・典型ミス2件・試験で書くべきポイント1件が付いています。

2024年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は1問に2テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第1問25大学・544問
線形空間・基底第1問21大学・152問

前年度（2023年度）との違い

大問数
2023年度 7問 → 2024年度 7問
2023年度のページを見る

第1問 — 巡回型行列

方針

巡回行列は Fourier 基底で対角化できる。実数解だけを求める場合でも，複素固有値を一度使うと階数条件が最短で整理できる。

検算

(a,b,c)=(t,t,t)(a,b,c)=(t,t,t) なら出力は常に t(x+y+z)(1,1,1)t(x+y+z)(1,1,1) で，像は1次元，核は和が0の平面になる。

解答

(1) 行列を M=(cabbcaabc) M= \begin{pmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ a&b&c \end{pmatrix} とおく。この行列は巡回行列であり，ω=e2πi/3\omega=e^{2\pi i/3} を用いると固有値は λ0=a+b+c,λ1=c+aω+bω2,λ2=c+aω2+bω \lambda_0=a+b+c,\quad \lambda_1=c+a\omega+b\omega^2,\quad \lambda_2=c+a\omega^2+b\omega である。実行列なので λ2=λ1‾\lambda_2=\overline{\lambda_1} である。

rank⁡M=1\operatorname{rank}M=1 となるには，1つだけが非零で残り2つが零でなければならない。実数条件の下で λ1=λ2=0\lambda_1=\lambda_2=0 は a=b=c a=b=c と同値であり，このとき λ0=3a\lambda_0=3a である。従って (a,b,c)=(t,t,t),t≠0 (a,b,c)=(t,t,t),\qquad t\ne0 が第1小問の答である。

(2) このとき Tt,t,tT_{t,t,t} の核は {(x,y,z)∈R3∣x+y+z=0} \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\} である。一方，Tp,q,rT_{p,q,r} の像がこの平面に等しいためには，列ベクトルの各成分和が 00 で，かつ階数が 22 であればよい。各列の成分和は p+q+rp+q+r なので，必要条件は p+q+r=0. p+q+r=0. この条件の下で行列が零行列でない限り，巡回行列の固有値は 0,μ,μ‾0,\mu,\overline{\mu} となり，実階数は 22 である。従って p+q+r=0,(p,q,r)≠(0,0,0) p+q+r=0,\qquad (p,q,r)\ne(0,0,0) が全てである。

最終答

(1) rank⁡Ta,b,c=1\operatorname{rank}T_{a,b,c}=1 は (a,b,c)=(t,t,t), t≠0(a,b,c)=(t,t,t),\,t\ne0。(2) そのとき Ker⁡Ta,b,c=Image⁡Tp,q,r\operatorname{Ker}T_{a,b,c}=\operatorname{Image}T_{p,q,r} となるのは p+q+r=0, (p,q,r)≠0p+q+r=0,\ (p,q,r)\ne0。

第2問 — 斉次関数の臨界点

方針

関数は0次斉次なので，大きさではなく方向だけが本質である。非負象限では単位球面上に制限して最適化すると見通しがよい。

典型ミス

最小値を 00 としてはいけない。定義域から原点が除かれており，非零ベクトルでは少なくとも1つの非負成分が正なので，値は正である。

斉次関数の臨界点の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 負内積ベクトル族

方針

下限は正単体，上限は「全ての相互角が鈍角」のベクトルは n+1n+1 本を超えられないという標準事実である。答案では正単体の構成と上限の線形従属性を両方書く。

試験で書くべきポイント

「正単体だから明らか」とだけ書くより，内積が負になる式を1行入れると得点が安定する。

負内積ベクトル族の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 床関数を含む積分

方針

床関数は (1/(n+1),1/n](1/(n+1),1/n] に分けるのが基本である。一般の α\alpha は置換 x=αux=\alpha u で α=1\alpha=1 に戻す。

検算

α=1\alpha=1 を JαJ_\alpha の答に代入すると，積分の中身が同じなので J1=0J_1=0 になる。一般式 −αlog⁡α-\alpha\log\alpha と整合している。

床関数を含む積分の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — 有理数軸に付く位相

方針

上側の点を有理数軸上の2点へ対応させると，近傍の形が単純になる。ハウスドルフ性は局所的な分離，連結性は付着点対の稠密性で処理する。

注意

この空間は見た目には有理数軸に多くの孤立的な点を足したように見えるが，上側点の近傍が必ず有理数軸の2か所へ戻るため，軸を非自明に切る分離が作れない。

有理数軸に付く位相の途中式・最終答をPDFで見る

第6問 — 対数積分

方針

x↦1/xx\mapsto1/x の対称性が最重要である。第2積分は (0,1)(0,1) に落として奇数平方逆数和に帰着する。

典型ミス

x=1x=1 の点を極として発散扱いしてはいけない。log⁡x/(x2−1)→1/2\log x/(x^2-1)\to1/2 なので，そこでは可除的である。

対数積分の途中式・最終答をPDFで見る

第7問 — 非線形系の位相共役

方針

非線形項は Y=y+x2/(2a+1)Y=y+x^2/(2a+1) で消える。あとは x′=axx'=ax と u′=uu'=u の1次元流が同じ向きの膨張を持つかどうかを見る。

検算

a>0a>0 のとき h(eatx)=eth(x)h(e^{at}x)=e^t h(x) が直接確認できる。HH の第2成分も Y′=−YY'=-Y を満たすので，線形系の第2成分と一致する。

非線形系の位相共役の途中式・最終答をPDFで見る

東大 専門科目A 院試 過去問の収録20年度

  • 2026年度（全7問）

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  • 2025年度（全7問）

    広義積分と漸近展開 ／ 射影された線形写像 ／ 反復正弦と log-sum-exp

  • 2024年度（このページ・全7問）

    巡回型行列 ／ 斉次関数の臨界点 ／ 負内積ベクトル族

  • 2023年度（全7問）

    交互成分行列 ／ 細い領域の二重積分 ／ 外積表現と対角化

  • 2022年度（全7問）

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  • 2020年度（全7問）

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  • 2019年度（全7問）

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  • 2017年度（全7問）

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  • 2016年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

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  • 2015年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    剰余で定まる線形写像 ／ 円板上の平均値 ／ 同相写像の軌道空間

  • 2014年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    線形写像と正定値性 ／ 乗法的Cauchy方程式 ／ 距離関数の微分

  • 2013年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    ハウスホルダー変換と回転 ／ 調和級数と奇偶部分和 ／ 交代形式への合同変換

  • 2012年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    交換子と対角化可能性 ／ 二変数関数の最大値 ／ フーリエ積分

  • 2011年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    対角化可能性と相似条件 ／ 特異積分の極限 ／ コンパクト開位相の基本閉性

  • 2010年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    階数低下と零固有値 ／ コーシー型核の積分と畳み込み ／ 有界列空間と収束列の閉性

  • 2007年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    広義固有空間と交換関係 ／ 偏微分可能性と極座標積分 ／ コンパクト集合の直積近傍

  • 2006年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    行基本変形と列空間 ／ 余弦積分と一様収束 ／ 双対空間と直和分解

  • 2005年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    実対称行列の固有条件 ／ 平坦関数と積分剰余 ／ 単調関数が誘導する距離

  • 2004年度（全7問）解答・最終答まで全文公開

    行列ノルムとスペクトル半径 ／ 同次性と極座標表示 ／ グラフ距離とコンパクト性