東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2024年度 院試 解答例・解説

方針

巡回行列は Fourier 基底で対角化できる。実数解だけを求める場合でも，複素固有値を一度使うと階数条件が最短で整理できる。

検算

$(a,b,c)=(t,t,t)$ なら出力は常に $t(x+y+z)(1,1,1)$ で，像は1次元，核は和が0の平面になる。

方針

関数は0次斉次なので，大きさではなく方向だけが本質である。非負象限では単位球面上に制限して最適化すると見通しがよい。

典型ミス

最小値を $0$ としてはいけない。定義域から原点が除かれており，非零ベクトルでは少なくとも1つの非負成分が正なので，値は正である。

方針

下限は正単体，上限は「全ての相互角が鈍角」のベクトルは $n+1$ 本を超えられないという標準事実である。答案では正単体の構成と上限の線形従属性を両方書く。

試験で書くべきポイント

「正単体だから明らか」とだけ書くより，内積が負になる式を1行入れると得点が安定する。

方針

床関数は $(1/(n+1),1/n]$ に分けるのが基本である。一般の $\alpha$ は置換 $x=\alpha u$ で $\alpha=1$ に戻す。

検算

$\alpha=1$ を $J_\alpha$ の答に代入すると，積分の中身が同じなので $J_1=0$ になる。一般式 $-\alpha\log\alpha$ と整合している。

方針

上側の点を有理数軸上の2点へ対応させると，近傍の形が単純になる。ハウスドルフ性は局所的な分離，連結性は付着点対の稠密性で処理する。

注意

この空間は見た目には有理数軸に多くの孤立的な点を足したように見えるが，上側点の近傍が必ず有理数軸の2か所へ戻るため，軸を非自明に切る分離が作れない。

方針

$x\mapsto1/x$ の対称性が最重要である。第2積分は $(0,1)$ に落として奇数平方逆数和に帰着する。

典型ミス

$x=1$ の点を極として発散扱いしてはいけない。$\log x/(x^2-1)\to1/2$ なので，そこでは可除的である。

方針

非線形項は $Y=y+x^2/(2a+1)$ で消える。あとは $x'=ax$ と $u'=u$ の1次元流が同じ向きの膨張を持つかどうかを見る。

検算

$a>0$ のとき $h(e^{at}x)=e^t h(x)$ が直接確認できる。$H$ の第2成分も $Y'=-Y$ を満たすので，線形系の第2成分と一致する。