東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2020年度 院試 解答例・解説

方針

上三角行列では固有値がすぐ読める。重複固有値 $a$ の固有空間の次元を調べる問題に落とす。

典型ミス

$d\ne a$ のときに $b=c=e=0$ まで要求すると強すぎる。 必要なのは $(b,c)$ と $(d-a,e)$ の一次従属性であり，これは $be-c(d-a)=0$ で表せる。

方針

見かけは極座標積分だが，条件に $r\cos\theta$ が現れるため $x=r\cos\theta$ を使うと一気に分離する。

採点上の注意

積分要素は問題で与えられた $dr\,d\theta$ で扱う。面積要素の $r\,dr\,d\theta$ を勝手に入れると別問題になる。

方針

補間二次関数を直接求めたあと，$x^2$ を変数にして凹性を見る。 面積の次数は $x=au$ とスケール変換して読むと安定する。

典型ミス

$\sqrt{1-x^2}$ の展開だけで $f_a$ 側の $a$-依存を落とすと，主要項の符号や係数を誤る。

方針

係数行列が $A^2=I$ になることを見抜くと，指数行列を対角化なしで計算できる。 非斉次項が一次式なので，特殊解も一次式で置けばよい。

検算

$t=0$ で $x(0)=1$，$y(0)=0$ となる。 また $x'(0)=-31+24=-7$，右辺も $-7\cdot1-4\cdot0= -7$ で一致する。

方針

不変部分空間の格子を見る問題である。固有空間がすべて一次元なら集合の包含計算に帰着し， 二次元以上の固有空間があると三本の直線で反例が作れる。

採点上の注意

$(b)\Rightarrow(a)$ では，反例として選ぶ三つの部分空間が本当に $f$-不変であることを書く。 同じ固有空間の中の任意の部分空間は $f$ がスカラー倍として作用するため不変である。

方針

$a_{m,n}$ は，$m$ が大きくなると固定された有限個の添字から質量が逃げていく確率重みである。 有限部分と尾部に分けると，Toeplitz 型の極限定理として処理できる。

典型ミス

$(1)$ で各 $m$ の級数が収束することと，$m$ に関する一様収束を混同しない。 一様収束では尾部和を $m$ によらず小さくできる必要がある。

方針

この位相では開集合が右上方向に伸びる。閉包は左下方向に伸びるため， 閉集合は点を一つ含むだけで大きな左下象限を含む。

採点上の注意

通常のユークリッド位相の直感でコンパクト性を判断しない。 第2小問では $(0,0)$ を含む開集合一つが $K$ 全体を覆う点が決定的である。