東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目A 2026年度 院試 解答例・解説

方針

最小値の切り替わりは $x^2+y^2=1$ で起こる。積分領域は半径 $\sqrt3$ の円板なので，内側の円板と外側の環に分けると角度積分が一気に簡単になる。

検算

内側の寄与は $\pi/16$，外側の寄与は $\pi/64$ である。外側では $2-r^2$ が途中で符号を変えるため，単純に正の量だけを積分しているわけではない点に注意する。

方針

直和条件は，単に次元が合うだけでは不十分である。まず $\dim\operatorname{Im}A+\dim\ker B=4$ から $a=2$ を強制し，その後で $\operatorname{Im}A\cap\ker B=\{0\}$ を確認する。

落としやすい点

$\ker B$ の次元は $b$ に依存しない。$B$ の行に一次関係が多いため階数が常に $2$ であることを先に見抜くと，場合分けが大幅に減る。

方針

これは Abel 極限から通常の級数和を戻すタウバー型の議論である。仮定 $k c_k\to0$ は，境界 $x\to1$ に近づけるときの誤差を制御するために使う。

検算

$x_n=1-1/n$ を選ぶと，前半の誤差は Cesàro 平均になり，後半の誤差は $\sum x_n^k/k$ で抑えられる。この二つが同時に消えることが証明の核心である。

方針

$D=z\frac{d}{dz}$ は単項式 $z^k$ に対して $D(z^k)=kz^k$ と作用する。つまり単項式基底では対角作用素であり，有限次元性は Taylor 係数の添字 $k$ を有限個に制限する条件になる。

注意

通常の微分作用素 $\frac{d}{dz}$ だけなら指数関数が反例になる。ここでは Euler 作用素 $z\frac{d}{dz}$ であることが本質である。

方針

この系では保存量 $F$ を見つけることが中心である。保存量のレベル集合が軌道を閉じ込め，平衡点 $(3,2)$ と初期点のエネルギー差が極限非存在の証明に効く。

採点上の注意

極限非存在を示す部分では，「保存量が一定だから振動する」とだけ書くと不十分である。極限が存在すれば自律系の平衡点にならざるを得ない，という一段を明示すると答案として堅い。

方針

核 $e^{-|s|}$ は $(x^2+1)^{-1}$ の Fourier 変換として表せる。正定値性は，二次形式を非負重み付きの絶対値二乗積分に変形することで示す。

検算

$t=0$ の値が $\pi$ になること，また $t$ の符号で閉じる半平面を変えることが符号ミス防止に有効である。

方針

第一問はコンパクト性で点列を収束させるだけでよい。第二問は「ファイバーの点が突然増えるなら，極限で二点が衝突する」ことを使い，局所単射性に反することを示す。

採点上の注意

第二問では $X^{n+1}$ のコンパクト性を使って，$n+1$ 個の点を同時に収束させるのが重要である。一点ずつ部分列を取るだけでは，衝突を確実に取り出す議論が弱くなる。