東京科学大 工学院 情報通信系 情報通信 2023年度 院試 解答例・解説

部分積分の境界項

$\Gamma(\xi+1)$ の部分積分では，$t^\xi e^{-t}$ が $t\to\infty$ で 0 に近づき，$\xi>0$ なら $t\to0$ でも 0 に近づく。この境界項の確認を書いておくと，漸化式の導出が厳密になる。

ガウス積分への帰着

$\Gamma(1/2)$ は一変数のままでは直接評価しにくいが，二乗して二重積分にすると円対称性が現れる。極座標変換のヤコビアン $r$ が入ることで，$\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr$ という初等的な積分になる。

Wallis積の位置づけ

最後の無限積は，ガンマ関数の極限表示を $\xi=1/2$ に特殊化したものである。単に既知公式として書くより，$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ と有限積の極限を結びつける流れを示すと，設問全体の意図に合う。

Gram行列として見る

$P^TP$ は列ベクトル同士の内積を並べた Gram 行列である。Gram 行列が半正定値になることは，二次形式がノルムの二乗になることから一行で示せる。

非零固有値だけが一致する理由

$P^Tu$ や $Pv$ を通じて固有ベクトルを移すため，移したベクトルが零にならないことが必要である。ここで $\lambda\ne0$ を使う。零固有値については，$P$ の行数と列数が異なると個数がずれるので，同じとは限らない。

具体計算の短縮

3次の $B$ を直接対角化するより，2次の $A=PP^T$ を先に対角化する方が速い。非零固有値の一致を使うことで，固有値計算が大幅に軽くなる。

二項分布への帰着

個体ごとの回復が独立で，回復確率が一定なら，回復数は二項分布である。平均と分散は暗記で済ませず，独立な Bernoulli 変数の和として理解しておくと，後半の近似分散にもつながる。

ロジット変換の意味

ロジスティック分布の累積分布関数は $q(m)=1/(1+e^{-\beta(m-\alpha)})$ である。この両辺をロジット変換すると $l(m)=\beta m-\beta\alpha$ となり，直線回帰の形になる。解析的な最尤推定が難しいため，ロジット変換後の最小二乗に切り替えるのが問題の流れである。

信頼区間の分散

$\log\{q/(1-q)\}$ の微分は $1/[q(1-q)]$ である。この微分係数に二項比率の分散 $q(1-q)/n$ を掛けると $1/[nq(1-q)]$ になる。最後に $q$ を $\hat q=k/n$ で置き換えることで，答案に使える形になる。

インピーダンスの分解

回路を直接一つの式にしようとすると複雑に見えるが，並列部分を二つ作ってから直列和を取ればよい。係数比較では，分子が分母の定数倍になることが「周波数によらない抵抗」の条件である。

過渡応答の初期値と終値

ステップ応答では，初期時刻のコンデンサは短絡，十分後のコンデンサは開放として扱う。初期値と終値を先に決めると，一次遅れ応答の形を迷わず書ける。

ばらつき範囲

時定数は $(R_1\parallel R_2)C$ である。抵抗値と容量値が独立に範囲を動くとき，正規化した式にして単調性を確認すると，端点だけを調べればよいことが分かる。

状態遷移は意味から作る

3枚で切符が出て初期状態に戻るので，投入時の遷移は3状態の巡回になる。入力なしの自己ループと，投入時の巡回遷移を分けて考えると，出力が $Q_2$ かつ投入ありの場合だけ 1 になることが見える。

Dijkstra法の空欄

プログラムは「確定していない点のうち，現在分かっている距離が最小の点を次に確定する」という処理である。`st` は今回確定する点，`nt` は次に確定する候補点であり，更新式は現在距離に辺の重みを足す形になる。

用語問題の落とし穴

状態の区別不能性は，完全定義回路では等価性，不完全定義回路では両立性として扱う。グラフ用語と順序回路用語が混在しているため，文脈ごとに使う語を切り替える必要がある。