東京科学大（旧東工大） 工学院 情報通信系 情報通信 2020年度 院試 過去問 解答例・解説

設問1　平行四辺形を長方形へ移す

可逆な線形変換は直線を直線へ移す。ここでは $u=x+y$ が一定の二辺と $v=x-y$ が一定の二辺を、新しい座標軸に平行な辺へ変えている。逆変換の行列式は $-1/2\ne0$ なので一対一で、四隅を戻して辺で結べば元の領域が定まる。

$A$ なら $(u,v)=(2,1)$、$B$ なら $(2,-1)$ となり、図の右辺の上下へ対応する。面積は $D'$ が $4\cdot2=8$、$D$ は絶対Jacobian $1/2$ を掛けた4である。元の隣接辺 $B-A=(-1,1)$、$D-A=(-2,-2)$ の行列式の絶対値も4となる。

区間の上端だけを幅と取り違えると $D'$ の面積を $2\cdot2=4$ と誤る。幅は $2-(-2)=4$ であり、その誤りでは元の面積も2と半分になる。逆変換で $y=(v-u)/2$ と符号を逆にすると、例えば $(u,v)=(2,1)$ が $(3/2,-1/2)$ となり、元の $x+y=2$ を満たさない。

設問2　面積要素と対称性を使う積分

二重積分の変数変換公式は、一対一で微分可能な変換の下で、微小面積を行列式の絶対値で補正する。本問の変換は可逆線形でJacobianが一定なので、領域全体でその公式を使える。行列式の負号は座標の向きが反転することを表し、面積が負になることを意味しない。

積分の中の $-u^3+3u$ は $u$ の奇関数である。対称区間上で $\int_{-a}^a h(u)du=0$ となるのは $h(-u)=-h(u)$ で、積分が存在するときである。本問は有界領域上の多項式なので可積分性も満たす。残る定数部分は $4\times\operatorname{area}(D')=32$、$v^2$ の部分は $$\int_{-2}^{2}du\int_{-1}^{1}v^2dv=4\left[\frac{v^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac83.$$ 別の確認として、$D'$ 上の一様平均では $u$ の奇数次平均は0、$v^2$ の平均は $1/3$ なので $g$ の平均は $11/3$。元の面積4を掛けても $44/3$ になる。

Jacobianを落とすと $88/3$ と2倍になる。符号付きの $-1/2$ を面積に使う誤式では $-44/3$ になる。積分値を単に体積とみなして正負を判断するのでなく、本問では符号を持つ関数の積分として、公式と平均の両方から確かめる。

設問3　他の変数を固定して偏微分する

偏微分は一変数だけを変える差商の極限で、例えば $$g_u(u,v)=\lim_{h\to0}\frac{g(u+h,v)-g(u,v)}h$$ で定義する。多項式では各項を通常の微分則で微分できる。$-u^3$ から $-3u^2$、$3u$ から3が残り、$-v^2+4$ は $u$ について定数なので消える。再び $u$ で微分すれば $-6u$ となる。

$g_u$ は $v$ を含まず、$g_v$ は $u$ を含まないため、両方の混合偏導関数は0である。二階偏導関数が連続な近傍では混合微分を交換できるという定理も使えるが、ここではそれぞれを直接計算して一致を確認している。

例えば $(u,v)=(1,2)$ では、$g_u=0,g_v=-4,g_{uu}=-6,g_{vv}=-2$ となる。$u$ 方向の差を直接展開すると $$g(1+h,2)-g(1,2)=-3h^2-h^3$$ で、一次項がなく、二次項の係数は $g_{uu}/2=-3$ と合う。$v$ 方向では $g(1,2+k)-g(1,2)=-4k-k^2$ である。

$g_u$ を求める際に $-v^2$ まで $-2v$ と微分して $3-3u^2-2v$ とするのは、方向を固定する定義を外れている。その誤式は $(1,2)$ で $-4$ を与えるが、上の差商の極限は0である。混合微分0と、同じ変数を二回微分した値とは区別する。

設問4　内点の極値候補を漏れなく求める

極大点を $P$ とすると、十分小さい $h$ に対して $g(P+h e_u)\le g(P)$ となる。$h>0$ と $h<0$ の差商を比べ、微分が存在すれば $u$ 偏微分は正にも負にもなれず0になる。$v$ 方向も同様である。極小点では不等号を逆にして同じ結論を得る。これが多変数版のFermatの必要条件である。

本問では候補が二つとも $(-2,2)\times(-1,1)$ に入るので、内点の条件を問題なく使える。$u^2=1$ の平方根を取る際には正負の両根が必要で、$v=0$ と組み合わせた二点以外の内点候補はない。

ただし勾配0は極値の十分条件ではない。実際に次問で $(-1,0)$ は鞍点と分かる。一変数の例でも $q(t)=t^3$ は $q'(0)=0$ だが、原点の左右で値の大小が逆になり極値ではない。

また閉領域上の最大点が境界にあるとき、この必要条件を課すことはできない。例として $q(u)=u$ を $[-2,2]$ で最大にする点 $u=2$ では $q'=1$ である。本問の境界点 $(-2,0)$ も $g_u=-9\ne0$ なのに全体最大値を達成する。$u=1$ だけを採り、他方の根や境界を捨てると、後の「すべての最大点」への答えが欠ける。ここでは内点の候補を求め、分類と境界の確認は分けて行う。

設問5　二次の変化で極大と鞍点を区別する

二階連続微分可能な関数の停留点 $P$ の近くでは $$g(P+h)=g(P)+\tfrac12h^{\mathsf T}H(P)h+o(\|h\|^2)$$ とTaylor展開できる。二次形式が全非零方向で負なら、十分小さい変位で値が減るため局所極大になる。正と負の方向が両方あれば、近くに大きい値と小さい値が共存して極値にならない。

本問では展開を正確に書ける。$(1,0)$ から $(h,k)$ だけ動かすと $$g(1+h,k)-6=-3h^2-h^3-k^2=-h^2(3+h)-k^2.$$ $|h|<1$ なら、$(h,k)\ne(0,0)$ で右辺は負なので厳密な極大である。$(-1,0)$ の周りでは $$g(-1+h,k)-2=3h^2-h^3-k^2.$$ $k=0$ で小さな非零 $h$ を取ると正、$h=0$ で非零 $k$ を取ると負になる。例えば $h=0.1,k=0$ では差が $0.029$、$h=0,k=0.1$ では $-0.01$ で、鞍点の両方向を実数値でも確認できる。

二変数の判定式 $\det H=g_{uu}g_{vv}-g_{uv}^2$ を使うなら、第一点で12かつ $g_{uu}<0$、第二点で $-12<0$ となる。$\det H>0$ という条件だけで極小と決める誤りは、第一点を逆に分類する。負定値か正定値かを分けるため、対角成分の符号も必要である。

設問6　境界の最大点も含めて結論する

閉有界領域上の連続関数は最大・最小値を取る。ただし内点の微分条件だけでは境界を扱えない。本問では $-v^2$ の形によって、同じ $u$ に対して必ず $v=0$ が最大になる。残る一変数関数について因数分解で全領域共通の上界を示すと、候補の比較だけでなく、他に最大点がないことまで分かる。

因数分解を展開すると $(u-1)^2(u+2)=u^3-3u+2=6-h(u)$ である。$u+2\ge0$ と平方の非負性から不等式が成立し、その積が0になる値は $u=-2,1$ だけである。さらに $-v^2$ で失う分を0にするには $v=0$ が必要なので、最大点の列挙は完全である。

別の確認では $h'(u)=3-3u^2$ より内点候補 $u=\pm1$ と端点 $u=\pm2$ を比較する。値は順に $$h(-2)=6,\quad h(-1)=2,\quad h(1)=6,\quad h(2)=2$$ で同じ結論になる。元の関数にも $(-1,-1)$ と $(1/2,1/2)$ を代入すれば、それぞれ $u=-2,1$、$v=0$ から6を得る。

Hessianによる極大点 $(1,0)$ だけを戻して $(1/2,1/2)$ 一点とする誤答は、最大値6は正しくても最大点を一つ落とす。逆に停留点すべてを最大点とすると、$(-1,0)$ に対応する $(-1/2,-1/2)$ を余分に入れ、その値は2にしかならない。局所の分類と、閉領域全体の等号条件を照合して答える。