東京科学大 工学院 情報通信系 情報通信 2020年度 院試 解答例・解説

領域の形から変数を選ぶ

領域条件が $x+y$ と $x-y$ で直接書かれているので，その二つを新変数にするのが自然である。この変換を使うと，斜めの平行四辺形が長方形になり，積分範囲を迷わず書ける。

Jacobian の符号

面積要素に入れるのは絶対値である。行列式そのものは $-1/2$ だが，$dx\,dy=(1/2)\,du\,dv$ とする。ここを落とすと積分値が二倍ずれる。

極値判定と最大値判定の違い

Hessian による判定は局所的な極値の判定である。最後の最大値は閉領域全体の最大値なので，境界も含めて調べる必要がある。今回は $v$ 方向が $-v^2$ で分離しているため，まず $v=0$ に絞り，その後 $u$ の一変数問題として処理できる。

正定値条件の見方

$2\times2$ の正定値条件は，左上成分が正で，行列式が正という形で覚えてよい。ただし，答案では平方完成で導くと条件の意味が明確になる。係数 $a>0$ が先に与えられているため，$x+\frac{b}{a}y$ で平方完成するのが最短である。

正規直交基底の作り方

平面の式から法線ベクトルを読み取り，それに直交する簡単なベクトルを二つ作る。二つ目は一つ目とも直交するように選ぶと，Gram--Schmidt の計算を短くできる。正規化を最後に行うと計算ミスが少ない。

対称部分と交代部分

任意の行列は $$A=\frac{A+{}^tA}{2}+\frac{A-{}^tA}{2}$$ と対称部分と交代部分に分解できる。今回の $F$ は対称部分を取り出す写像であり，$G(A)$ は交代部分である。交代行列の対称部分はゼロなので，$G(A)$ が核に入る。

中心化してから考える

ガウス分布の計算は $y=x-m$ によって平均をゼロに移すとほとんど終わる。奇数次の中心モーメントがゼロになる理由は，密度が $y$ について偶関数で，$y^{2k-1}$ が奇関数だからである。

偶数次モーメントの導出

公式を暗記していてもよいが，入試答案ではガウス積分をパラメータで微分する導出を書けると強い。微分ごとに $-x^2$ が降りてくるため，偶数次の積分が得られる。

非中心モーメントへの戻し方

$\langle X^2\rangle$ や $\langle X^3\rangle$ は $X=(X-m)+m$ と展開して求める。中心化した奇数次モーメントが消えることを使うと，計算量が大きく減る。

F 行列の入力インピーダンス

F 行列では，出力側の負荷条件を $V_2=Z_RI_2$ と置いてから $V_1/I_1$ を取る。公式だけを覚えるより，この一行の代入で導けば符号の混乱を避けられる。

伝送線路の基本形

無損失線路の電圧と電流は二階の波動方程式に従う。ここで出る $\beta=\omega\sqrt{LC_1}$ は位相定数，$Z_0=\sqrt{L/C_1}$ は特性インピーダンスである。以後の式はこの二つで整理すると見通しがよい。

短絡線路の近似

短絡終端では $Z_{\mathrm{in}}=jZ_0\tan\beta l$ となる。短い線路なら $\tan\beta l\simeq\beta l$ なので，$j\omega Ll$ が残る。これはインダクタのインピーダンス $j\omega L_{\mathrm{eq}}$ と同じ形である。

行優先配列のインデックス

二次元座標 $(x,y)$ を一次元に直すときは，先に $y$ 行ぶん進み，その後 $x$ 列ぶん進む。したがって $i=yw+x$ である。この変換を間違えると，アルゴリズムの空欄がすべて崩れる。

累積和表の包除原理

右下までの大きな累積和から，左側と上側を引く。ただし左上の重なりを二回引いているため一度足し戻す。このため $+,+,-,-$ の形になる。画像処理でいう integral image と同じ考え方である。

前処理の価値

累積和表は作るときにコストがかかるが，一度作れば各矩形を定数回の演算で処理できる。矩形数が少ないと直接足す方が速いが，多数の矩形を扱うと前処理の効果が出る。

分散への拡張

分散は平均と二乗平均から計算できる。したがって，値の累積和表だけでなく，値を二乗した表の累積和表も用意すればよい。矩形ごとに全要素を走査し直す必要はない。