東京科学大 工学院 情報通信系 情報通信 2022年度 院試 解答例・解説

楕円体上の積最大

半軸長が $1,2,4$ の楕円体なので，正規化座標で見ると，最大点は三つの正規化成分が等しくなる点である。Lagrange の式を書けば，この直感が $16x^2=4y^2=z^2$ として現れる。

接するという幾何的意味

制約付き極値では，制約曲面と目的関数の等値面が極値点で接する。したがって二つの法線ベクトルが平行になる。この幾何的説明は，Lagrange 乗数法の式を丸暗記ではなく意味から説明する答案になる。

特異点を持つ体積

$\log(1/r^2)$ は $r=0$ で発散するが，面積要素 $r\,dr\,d\theta$ が付くため体積は有限になる。$d^2\log d\to0$ の確認が，最後の極限で重要である。

核の基底

階数が3なので，次元定理より5次元空間から4次元空間への線形写像の核は2次元である。指定された正規化ベクトルを含める必要があるため，もう一つは零空間内で直交化して選ぶ。

重複固有値の扱い

$-1$ の固有空間は2次元であり，その中の任意の正規直交基底を選べば対角化できる。固有値が重複している場合，固有ベクトルは一意ではない。

対称行列の冪零性

一般の行列では冪零でも零行列とは限らない。しかし実対称行列は直交対角化できるため，冪零性は全固有値が0であることを意味し，結局零行列になる。

列ベクトルの向き

遷移確率を $a_{ij}=P(S_{t+1}=j\mid S_t=i)$ と置いているので，分布を列ベクトルで持つ場合は $A^T$ を掛ける。ここを $A$ のままにすると成分が入れ替わる。

定常分布

長期分布は $q=A^Tq$ を満たす固有値1の固有ベクトルである。確率分布なので，最後に成分和が1になるように正規化する必要がある。

割引和の計算

$q_t=(A^T)^{t-1}q_1$ と書けば，割引和は行列の等比級数になる。期待値を直接足しても同じ結果が得られるが，行列式の形を保つと問題中の $f(\gamma)$ が $\gamma^N$ であることが見えやすい。

変位電流

変位電流は実際に電荷が誘電体中を横切って流れる電流ではなく，時間変化する電場が磁場を作る効果を電流密度の形で表したものである。コンデンサの交流応答を Maxwell 方程式とつなぐための重要な概念である。

波速の導出

平面波を波動方程式へ代入すると，空間微分から $(2\pi/\lambda)^2$，時間微分から $(2\pi\nu)^2$ が出る。符号は両辺で同じように消えるので，$\lambda\nu=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ が得られる。

同偏波と直交偏波

同じ偏波を同位相で重ねると電場振幅が2倍になり，強度は4倍になる。一方，直交偏波では二乗和として足されるため，単純に2本分の強度になる。この違いが平均エネルギーの係数差になる。

ソートの空欄

バブルソートは隣接交換，選択ソートは未整列部分の最小値探索である。擬似コードの変数名を追うだけでなく，どのアルゴリズムの不変条件を保っているかを見ると空欄を誤りにくい。

CPIと性能

性能は実行時間の逆数であり，実行時間は「命令数 $\times$ CPI $/$ 周波数」で決まる。命令数が変わらない条件では，CPIと周波数だけを比較すればよい。

キャッシュヒット率

キャッシュの効果は，メモリ参照命令のCPIをヒット時とミス時の重み付き平均で置き換えるだけで計算できる。全命令に占めるメモリ参照の割合を最後に掛ける点を落としやすい。