東京科学大 工学院 情報通信系 情報通信 2025年度 院試 解答例・解説

極限が存在しないことの示し方

二変数極限では，一つの経路で値が出るだけでは不十分である。存在しないことを示すには，原点へ近づく二つの経路で異なる値に近づくことを示せばよい。今回の関数は $x^2$ と $y^2$ の対称性が強いため，座標軸上を調べるのが最短である。

変数変換の狙い

領域が $x+y$ と $x-y$ で与えられているので，その二つをそのまま新変数にする。被積分関数も $x-y$ と $x+y$ の積の形になっており，変数変換後は長方形上の積分に分離する。Jacobian の $\frac12$ を落とすと値が半分ずれるため，ここが採点上の注意点である。

収束証明で書くべきこと

数列の和の収束は三角不等式だけで処理できる。ただし，二つの数列の収束に対して別々に得られる番号 $N_1,N_2$ を，一つの $N$ にまとめる手順を書く必要がある。ここを書かない答案は，定義に基づく証明として不完全に見える。

跡と直交性を使う

対称行列の問題では，すべてを行列式から解こうとすると計算が重くなる。既に二つの固有値が与えられているので，残りの固有値は跡から直ちに出る。また，相異なる固有値の固有ベクトルが直交することを使えば，残りの固有ベクトルは外積で求まる。

二次曲面の読み替え

$p^TAp=1$ は，対角化した座標では $$3r_1^2+2r_2^2+r_3^2=1$$ である。したがって単位球ではなく楕円体であり，固有値が大きい方向ほど半径が短い。固有値と半径の関係は $\text{半径}=1/\sqrt{\lambda}$ と覚えるとよい。

回転角の確認

3次元の回転行列では，回転軸方向に固有値 $1$ が一つあり，残り二つの固有値が回転角を表す。そのため跡は $1+2\cos\theta$ になる。今回のように $\cos\theta$ だけを問われている場合，軸の向きに依存する符号の議論は不要である。

論述答案の骨格

この種の論述では，話題の広さよりも構造が重要である。課題，重要性，技術的解決，理論的根拠，限界，将来影響の順に書くと，採点者が論理を追いやすい。単なる感想ではなく，通信容量，SNR，符号化，MIMOなどの専門語を，役割が分かる形で使うことが必要である。

図表を使う場合

答案用紙で図を使うなら，「端末，基地局，チャネル状態，制御部」の関係を簡単なブロック図にするとよい。ただし，図だけでは説明にならない。本文で，どの技術がどの制約を緩和するのかを明確に書く必要がある。

過度な一般論を避ける

「AIが重要」「高速通信が必要」といった一般論だけでは，情報通信系の答案として弱い。数式や具体的な制御対象を一つ入れると，専門性が出る。今回なら $C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$ を用いて，帯域とSNRが速度上限に関係することを説明している点が有効である。