千葉大 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 専門科目（A0・A問題・B問題） 2025年度 院試 解答例・解説

方針

像の等式では「像に入る元の原像を取る」議論になるため，単射性が必要になる。一方，逆像の等式は写像の単射性・全射性に関係なく，論理式をそのまま引き戻すだけでよい。

典型ミス

$f(A_2)^c$ は $Y$ における補集合であり，$f(A_2^c)$ とは一般には異なる。単射性を使うのは，$f(x)\notin f(A_2)$ から $x\notin A_2$ を保証する場面である。

試験で書くべきポイント

$\mathbb{N}$ 上の例は，式を書くだけでなく，全射性・単射性のどちらが成り立ち，どちらが破れているかを一文で確認すると減点されにくい。

方針

微分作用素は次数2の斉次部分と次数1の部分を混ぜない。したがって，$x^2,xy,y^2$ への作用から $B$，$x,y$ への作用から $C$ を別々に求めればよい。

検算

$B$ の特性多項式は $\lambda(\lambda-1)^2$ になる。計算途中で $\det B\neq0$ になった場合は，二階微分係数の $1/2$ と $\partial^2 x^2/\partial x^2=2$ の打ち消しを確認するとよい。

試験で書くべきポイント

対角化可能性は「固有値が重複している」だけでは判定できない。代数的重複度2の固有値に対して固有空間の次元が1である，という形で理由を書く。

方針

前半はリーマン和とチェザロ平均を使い分ける。後半は $Df(0)$ の正則性を確認し，逆写像の微分が逆行列で与えられることを使う。

典型ミス

第3の極限は $n$ ではなく $k$ で変化する数列の平均である。各項の極限を先に求め，収束列の算術平均の定理を使うのが安全である。

検算

$\det Df(0)=-1$ なので，逆行列の成分に分母は現れない。計算結果が大きな分数になった場合は，連立一次方程式を列ごとに解き直すとよい。

方針

$t\mapsto t/(1+t)$ は距離を有界化する標準操作である。連続性では $d_1$ と $d_2$ の明示的な変換式 $$d_1=\frac{d_2}{1-d_2}$$ を意識すると，逆向きの恒等写像も連続であることが見える。

典型ミス

$d_2\le d_1$ だけから分かるのは $f:(X,d_1)\to(X,d_2)$ の連続性である。逆向きは別途 $\delta=\varepsilon/(1+\varepsilon)$ を選ぶ必要がある。

試験で書くべきポイント

閉部分空間のコンパクト性は，開被覆に $Y\setminus F$ を加えて $Y$ の開被覆に直す，という一手を書くと簡潔に証明できる。

方針

正規分布の線形結合は再び正規分布になる。平均と分散を先に出せば，密度関数は標準形にそのまま代入できる。

検算

$Z<W$ では $X$ が消えて $Y<-1$ だけが残る。ここで $X$ と $Y$ の同時分布を積分し始めると計算が重くなる。

典型ミス

共分散では定数 $2,-1$ は消える。また $\operatorname{Cov}(Y,-2Y)=-2$ であり，符号を落としやすい。

方針

この関数は二次元累積和を作っている。各点 $(k,\ell)$ には，左上の長方形領域の総和が入る。

検算

最後の式は，右下までの大きな長方形から，上側と左側を引き，二重に引いた左上を戻す形である。添字が $k+1,\ell+1$ から始まるため，境界に $b[k][\ell]$ が出る。

試験で書くべきポイント

プログラムの各行を逐語的に追うより，ループ不変量として「$j$ 列目を処理した時点で左上長方形の和になっている」と書くと証明が短い。

方針

巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の自己同型は，生成元 $\bar1$ をどの生成元へ送るかで決まる。そのため自己同型群は乗法群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ に一致する。

典型ミス

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 自体の加法群と，自己同型群に対応する単元群を混同しない。自己同型は $\bar{x}\mapsto \overline{ax}$ で，$a$ は $n$ と互いに素でなければならない。

試験で書くべきポイント

非巡回例では，単に「巡回でない」と書くのではなく，すべての非単位元の位数が2で，位数4の元が存在しないことを示す。

方針

標数3では $(t+1)^3=t^3+1$ となるため，$t^3-t$ が平行移動 $t\mapsto t+1$ の基本不変量になる。固定部分環を先に見抜くと，極大イデアルの問題も $u=t^3-t$ で整理できる。

検算

$t^3-t$ ではなく $t^3+t$ としてしまうと $\sigma$ で固定されない。実際に $t\mapsto t+1$ を代入して確認することが重要である。

試験で書くべきポイント

$(t^3-t-1)$ が極大イデアルを与えるには，3次多項式が $\mathbb{F}_3$ に根を持たないことを書けば十分である。3次多項式は根を持たなければ既約である。

方針

$\omega$ は位置ベクトルを体積形式へ内積した2形式であり，球面上では半径方向の面積形式になる。最後は $\eta$ が原点で特異性をもつため，小球をくり抜いて Stokes の定理を使う。

典型ミス

$\Sigma$ の内部に原点が含まれるので，単純に $\int_\Sigma\eta=\int d\eta$ としてはいけない。小球境界から $-4\pi$ の寄与が出る。

検算

もし特異項 $-r^{-3}\omega$ がなければ，答えは $3$ 倍のトーラス体積 $12\pi^2$ になる。実際の答えはそこから $4\pi$ だけ引かれる。

方針

各複体を図形として見ると早い。$\Sigma_1$ は三角形の枠と枝，$\Sigma_2$ は一方の三角形だけを面で埋めたもの，$\Sigma_3$ は2つの三角形を両方とも面で埋めたものである。

検算

連結なグラフだけなら $H_1$ の階数は $E-V+1$ で数えられる。2単体が入ると，その境界サイクルが1つずつ殺される。

試験で書くべきポイント

$\ker g_*/\operatorname{im} f_*$ は，$\Sigma_2$ で残っているサイクルのうち $\Sigma_3$ で境界になるものを，$\Sigma_1$ から来たサイクルで割ったものとして説明すると分かりやすい。

方針

$a>0$ なので上半平面で $e^{iaz}$ が指数減衰する。したがって上半平面の長方形輪郭を使い，内部の極 $z=i$ の留数を拾う。

典型ミス

下半平面を閉じると $e^{iaz}$ が減衰しない。$a>0$ の符号を見て，どちらに閉じるかを決める。

検算

留数は $e^{ia i}=e^{-a}$ であり，答えは $a\to\infty$ で指数的に小さくなる。これは振動積分の減衰として自然である。

方針

前半2問は変数分離でよい。最後は $\log y$ を取って，0に近づけないことを不等式で示すのが要点である。

典型ミス

(1) では $x>0$ の枝から出発しているため，$\log|x|$ と書いて負の側へ延長することはできない。最大定義域は初期点を含む連結区間で考える。

試験で書くべきポイント

一意性の主張では，通常の Lipschitz 条件を原点でそのまま使うのは危険である。正負に分け，正の解が0へ到達できないことを示す形が安定している。

方針

本質は「支配収束」と「対角線論法」である。各座標はコンパクトな閉円板に入るので，座標ごとの収束部分列は取れる。最後に $\ell^1$-ノルム収束へ昇格させるために $a\in\ell^1$ を使う。

典型ミス

座標ごとの有界性だけでは $\ell^1$ のコンパクト性は出ない。尾部を一様に小さくできること，つまり $\sum |a_n|<\infty$ が必要である。

検算

$a\notin\ell^1$ のとき，有限切断 $x^{(m)}$ はすべて $\ell^1$ に属する点である。これを使うと非有界性が直接見える。

方針

実数値可測性は，開半直線 $(-\infty,a)$ の逆像を調べれば十分である。和の可測性では，実数の間に有理数を挟むことで可算和に落とす。

典型ミス

$\{X+Y<a\}$ を非可算和で表すと，$\sigma$-加法族の閉性だけでは処理できない。有理数を使って可算和にすることが必要である。

試験で書くべきポイント

右辺の等式では，$X(\omega)+Y(\omega)<a$ なら $X(\omega)<q<a-Y(\omega)$ となる有理数 $q$ が存在する，という有理数の稠密性を一言添えるとよい。

方針

検査行列の列が $\mathbb{F}_2^3$ の非零ベクトル全体であることに気づくと，これは長さ7のハミング符号の標準的な議論になる。

検算

重み3の個数は7であり，これは7本の直線に対応する。2列を選ぶと3列目が和で決まるが，同じ3点集合を3回数えるので $\binom72/3$ となる。

試験で書くべきポイント

連結性は「重み3符号語が生成する」ことを示せば十分である。具体的な4つの独立な重み3符号語を書くと，抽象論に頼らずに完結する。

方針

互除法の計算量評価では，商がすべて1に近いときが最悪であり，そのとき余り列は Fibonacci 数列になる。これを下界として使う。

典型ミス

最後の商だけは $q_N\ge2$ である。最後の余りが0になるため，$r_{N-1}=q_Nr_N$ であり，$r_{N-1}>r_N$ から $q_N=1$ はありえない。

試験で書くべきポイント

$O(\log b)$ は「余りが毎回半分以下になる」とは限らないため，単純な半減論法では不十分である。Fibonacci 数列との比較を書くのが標準的である。

方針

`rev0' が遅い理由は，各段階で末尾挿入 `ins' を行うためである。反転は先頭への追加を使うと線形時間になる。同じ発想をキューにも使い，後ろ側への追加を `s' への先頭追加として蓄積する。

典型ミス

各 `pop' のたびに `s' を反転すると，やはり二乗時間になりうる。`r' が空になったときだけまとめて反転することが重要である。

検算

償却的に見ると，各要素は `s' に入る，`r' へ移る，`r' から出る，という定数回のリスト操作にしか関与しない。したがって操作列全体では線形になる。