東大 新領域創成科学研究科 物質系専攻 専門科目 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説10項目）

(1) 一枚の帯電円板の近傍の電場

ガウスの法則は $\oint\bm E\cdot d\bm A=Q_{\mathrm{in}}/\varepsilon_0$ である。 面内の対称性から接線成分がなく、上下の電場は逆向き・同じ大きさとなる。 このため閉じた柱の上面と下面の両方が正の電束を持ち、左辺に2が付く。 $q_0/A$ は投影面積当たりの全電荷である。 厚みを考えて金属の両面へ分けるなら、一面当たりの電荷密度はその半分であり、金属表面直外の $E=\sigma_{\mathrm{face}}/\varepsilon_0$ とも一致する。

全電荷 $q_0$ を上の面だけへ割り当てて $q_0/(\varepsilon_0 A)$ としない。 また板の中心近傍、$|x_0|,|z_0|\ll R$ という条件で有限円板の端を無視している。 遠くまで同じ一定電場が続くという式ではなく、十分遠方では有限電荷の電場に変わる。

(2) 二枚の板の内側と外側

静電場の重ね合わせは、各電荷分布が作る電場をベクトルとして足す原理である。 板をまたぐ法線成分の跳びもガウスの法則から $E_z(z_s+0)-E_z(z_s-0)=\sigma/\varepsilon_0$ となり、下の正板で $0$ から $q_1/(\varepsilon_0 A)$、上の負板で再び $0$ へ戻る。 外側をゼロ、内側を一定とする解は、これら二つの跳びを満たす。

板間では正板から負板へ、すなわち $+z$ 向きである。 「上の板が負だから下向き」と考えると、負電荷へ向くという向きを逆にしてしまう。 二枚なので常に電場を二倍にするのでなく、外側では打消し、内側では加算となることを位置ごとに確かめる。

(3) 充電で増える電場

電流は単位時間に運ばれる電荷で、電荷増加率は板へ入る電流から出る電流を引いて求める。 下板はその端から別の導線へ電流を流していないため、入った電荷が板全体に蓄積する。 上板の電荷は逆符号の $-It$ になり、板間の電場は時間とともに上向きに増す。

原題は各時刻で板上の分布が一様になる準静的な模型を与えている。 電荷が中央だけに残る点電荷として扱うのではなく、板間では $E=q/(\varepsilon_0 A)$ を使う。 $I$ が一定だから電場自体も一定、と取り違えない。 一定なのは電場の時間微分であり、単位は $\mathrm{V\,m^{-1}s^{-1}}$ になる。

(4) 板間の面を貫く変位電流

変位電流の積分は、電場の変化による項を電流の単位で表したものである。 真空のすき間を電子が実際に板から板へ移動している、という意味ではない。 板間に伝導電流がなくても、磁場を作る Maxwell--Ampere の法則にはこの項が加わる。

面内の $\bm J_d$ は一様だから、半径 $r$ までに含む値は全面積に対する比 $r^2/R^2$ になる。 小さい円にも導線の全電流 $I$ が通ると置くと、板間で広がる電場の変化を中央の線へ集中させてしまう。 積分の単位は A で、密度 $\mathrm{A\,m^{-2}}$ に円の面積を掛けたことと一致する。

(5) 板間の磁束密度の向きと大きさ

$+z$ 向きの変位電流に右手の親指を向けたとき、指が巻く向きが磁場になる。 $x_1>0$ の点では $+y$ 向き、$x_1<0$ では $-y$ 向きなので、ベクトルの成分には符号付きの $x_1$ が入る。 大きさを表す $r=|x_1|$ をそのまま $y$ 成分へ入れると、左右の点で同じ向きになってしまう。

板間の軸上では対称性から $\bm B=0$ となり、式も $r\to0$ でゼロになる。 導線の周りの $\mu_0I/(2\pi r)$ をそのまま板間へ使うと逆に発散し、すき間では電流が面積に広がることを無視する。 半径 $r$ の円を実際に貫く変位電流を先に求めたことが、この違いを決めている。

(6) 下板より下の面を貫く全電流項

$S_1$ と $S_2$ は半径が同じでも、囲まれる電流の形が異なる。 板間の $S_1$ では面内一様な変位電流の一部、導線が通る $S_2$ では導線の全電流を数える。 導線は太さを無視する線の模型なので、軸を含むどの正の半径の円でも全 $I$ が入る。

$S_2$ の法線はこの小問では $+z$ であり、電流と同方向だから正となる。 次問で円柱の底面として扱うときは外向きが $-z$ になるため、そこで初めて符号を反転する。 ここで先に $-I$ としてしまうと、同じ面積ベクトルを二回反転することになる。

(7) 円柱側面の全電流項

閉曲面の積分へ使う法線は、三面とも外向きに統一する。 底面だけは $-z$ なので、(6)の値を負にして足す。 側面の値は、導線から入る電流と、上面を貫く変位電流との差として決まる。 この差が正であることは、中央へ入った電荷の一部が板の外側の領域へ広がることと整合する。

$\bm K$ の発散がゼロという式は、実際の電荷密度が変わらないという主張ではない。 伝導電流 $\bm i$ 単独の発散は充電によりゼロでなく、その分を変位電流項が補う。 閉曲面を通る伝導電流だけをゼロにしてしまうと、板への蓄電を失う。 後の小問で、側面を実際に流れる板上の電流を数えて同じ値を確かめる。

(8) 下板の面電荷密度の増加率

板へ流入する全電荷の増加率 $I$ を、板全体の面積で割った量である。 下板は正に充電されるから、この増加率は正になる。 板間電場 $E_z=\sigma/\varepsilon_0$ を微分すると、(3)の $\partial E_z/\partial t=I/(\varepsilon_0 A)$ にも戻る。

$\sigma$ は電荷の面密度 $\mathrm{C\,m^{-2}}$ なので、その時間微分は $\mathrm{A\,m^{-2}}$ である。 全電流 $I$ と同じ単位の量ではない。 また下板の電荷が一様という条件を使っており、中央の導線から入るからといって電荷密度自体を軸上のデルタ関数にしない。

(9) 板上を広がる面電流の線密度

ここでの $\bm j$ は、円周の単位長さを横切る電流で、単位は $\mathrm{A\,m^{-1}}$ である。 三次元の電流密度 $\bm i$ の $\mathrm{A\,m^{-2}}$ とは異なり、板の厚み方向を積分した面電流を表す。 電流の一部は途中の板を充電するために使われるので、外向きの全電流 $2\pi rj(r)$ は $r$ とともに減る。

$r=R$ で外側へ逃げる電流はゼロとなり、導線から入った全電流が板の充電へ使われる。 $r\to0$ では $j\sim I/(2\pi r)$ と発散するが、これは点状接続を仮定した導線近傍の理想化で、円周全体の電流は有限の $I$ へ近付く。 原点以外の面内発散を計算しても $\nabla_s\cdot\bm j=(1/r)d(rj)/dr=-I/(\pi R^2)=-\partial\sigma/\partial t$ となり、局所の保存則を満たす。 単に $I/(2\pi r)$ とすると、途中で蓄積する電荷を無視することになる。

(10) 側面を通る伝導電流による再確認

薄い板の面電流を三次元密度で書くなら、板の高さ $z=-a$ に集中する $\bm i=\bm j\,\delta(z+a)$ と表せる。 側面の面積要素 $r\,d\varphi\,dz$ で積分すると、厚み方向のデルタ関数の積分が1になり、円周長 $2\pi r$ が残る。 軸上の導線は円柱の底を通るが、半径 $r>0$ の側面へは直接出ない。

端の効果を無視した電場は $z$ 方向なので、側面の半径方向の法線との内積がゼロとなり、側面を通る変位電流項はゼロである。 従ってここで求めた伝導電流だけで(7)の側面の全電流項を再現できる。 面の位置を変えると伝導電流と変位電流の内訳は変わるが、板上で広がる電流も含めて数えれば、Maxwell--Ampere の法則と電荷保存は同時に満たされる。

公式PDFの図1は空白枠と画像欠落アイコンになっており、材料の点と物性値を読めない。このため、図の材料名や読取値に依存する箇所は推測しない。電子と格子による熱輸送、熱流を決める保存則、壁厚の最適化など、図の数値に依存しない理論と一般式は扱える。本書はこれらの導出を収録し、材料選択の指標を定めたあと、図が得られればどの値や位置を比較するかまで説明している。