名工大 工学研究科 物理工学系 材料機能プログラム 材料機能プログラム 専門科目 2026年度 院試 解答例・解説

方針

量子井戸、自由電子、半導体キャリア統計はいずれも「許される状態を数え、その状態を占有する粒子数を決める」問題である。井戸では境界条件、金属では波数空間の状態密度、半導体では状態密度とフェルミ分布の積分が本質になる。

検算

$E_n$ は $L$ を大きくすると $1/L^2$ で小さくなる。$k_F$ は密度 $n$ の $1/3$ 乗、$E_F$ は $2/3$ 乗で増える。真性キャリア密度は $E_g$ が大きいほど指数関数的に小さくなり、物理的な傾向と合っている。

典型ミス

周期境界条件では $k$ の間隔が $\pi/L$ ではなく $2\pi/L$ である。また、フェルミ波数の導出ではスピン縮退の2を忘れると $3\pi^2$ がずれる。半導体の積分では $\int_0^\infty x^{1/2}e^{-x/(k_BT)}dx=(\sqrt{\pi}/2)(k_BT)^{3/2}$ を使う。

方針

溶液問題は $\Delta G_{\mathrm{mix}}$ の曲率で相分離を判定する。臨界点では曲率が0になり、対称正則溶液なら計算は一行で $\Omega=2RT_c$ に落ちる。エリンガム図は $\Delta G^\circ$ の大小比較を温度軸上で読む問題である。

試験で書くべきポイント

正則溶液では「混合エントロピーは理想溶液と同じ、混合エンタルピーが非ゼロ」と明記する。エリンガム図では、反応式の酸素量をそろえて比較しないと線の上下関係の意味が崩れる。

方針

金属材料学の設問は、X線を「光子」、吸収を「一次減衰」、結晶を「単位胞内の原子配置」として処理すればよい。いずれも公式を暗記するより、エネルギー保存、微分方程式、構造因子の和から導くとミスが少ない。

典型ミス

質量吸収係数の混合では原子数比ではなく質量分率で平均する。FCCの構造因子では、$h+k+l$ の偶奇だけで判定すると BCC と混同する。FCCは「全偶または全奇」が許容条件である。