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名工大 工学研究科 物理工学系 材料機能プログラム 材料機能プログラム 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

全4問の分野は化学1問、材料力学・材料1問、物性物理1問です。固有値・固有ベクトル、テイラー展開、RC回路の過渡応答などが出ています。解説はすべて、途中式と最終答は大問1問ぶんを公開しています。残りは解答PDFに収録しています。問題本文は含みません。

最終更新:

第1問 — 基礎物理数学

方針

この問題は、線形代数・級数・微分方程式・回路過渡応答の基本手順確認である。各小問で「判定に必要な式」を先に置くと答案が短く強くなる。

典型ミス

級数の収束判定では、和の形だけで判断せず一般項が0に行くかを必ず確認する。RL回路では時定数の次元が時間になるかを最後に見ると、係数の置き忘れを検出しやすい。

解答

  1. 二次行列 M=(3410),det⁡M=−4. M=\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix},\qquad \det M=-4. したがって M−1=1−4(0−4−13)=(011/4−3/4). M^{-1}=\frac{1}{-4} \begin{pmatrix}0&-4\\-1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\1/4&-3/4\end{pmatrix}. 固有値は det⁡(M−λI)=∣3−λ41−λ∣=λ2−3λ−4=(λ−4)(λ+1) \det(M-\lambda I)= \begin{vmatrix}3-\lambda&4\\1&-\lambda\end{vmatrix} =\lambda^2-3\lambda-4 =(\lambda-4)(\lambda+1) より λ=4,−1\lambda=4,-1。対応する固有ベクトルは例えば λ=4: (41),λ=−1: (−11). \lambda=4:\ \binom{4}{1},\qquad \lambda=-1:\ \binom{-1}{1}. P=(4−111),Λ=(400−1) P=\begin{pmatrix}4&-1\\1&1\end{pmatrix},\qquad \Lambda=\begin{pmatrix}4&0\\0&-1\end{pmatrix} とおけば M=PΛP−1. M=P\Lambda P^{-1}.
  2. 級数 ∑n=1∞n!2n \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^n} について、一般項 an=n!/2na_n=n!/2^n とすれば an+1an=n+12→∞. \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2}\to\infty. 特に一般項は0に収束しないので級数は発散する。 指数関数のマクローリン展開は ex=∑n=0∞xnn!. e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}. 比の判定法で ∣xn+1/(n+1)!xn/n!∣=∣x∣n+1→0 \left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\right| =\frac{|x|}{n+1}\to0 だから、任意の実数 xx で収束する。
  3. 放射性崩壊 微小時間 Δt\Delta t における濃度変化が濃度と時間に比例するなら N(t+Δt)−N(t)=−kN(t)Δt. N(t+\Delta t)-N(t)=-kN(t)\Delta t. Δt→0\Delta t\to0 として dNdt=−kN. \frac{dN}{dt}=-kN. 初期条件 N(0)=N0N(0)=N_0 で解くと N(t)=N0e−kt. N(t)=N_0e^{-kt}.
  4. 直流回路の過渡応答 コイル電流を I(t)I(t)、並列抵抗側の電流を IR(t)I_R(t) とする。コイル電圧を L dI/dtL\,dI/dt と書けば R1IR=LdIdt,E0=R0{I+IR}+R1IR. R_1 I_R=L\frac{dI}{dt}, \qquad E_0=R_0\{I+I_R\}+R_1I_R. よって L(1+R0R1)dIdt+R0I=E0. L\left(1+\frac{R_0}{R_1}\right)\frac{dI}{dt}+R_0I=E_0. I(0)=0I(0)=0 なら I(t)=E0R0{1−exp⁡(−tτ)},τ=L(R0+R1)R0R1. I(t)=\frac{E_0}{R_0} \left\{1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right\}, \qquad \tau=\frac{L(R_0+R_1)}{R_0R_1}. したがって I(t)I(t) は0から単調増加して E0/R0E_0/R_0 に漸近する。

最終答

M−1=(011/4−3/4)M^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1/4&-3/4\end{pmatrix}、固有値は 4,−14,-1。∑n!/2n\sum n!/2^n は発散、exe^x の級数は全実数で収束。放射性崩壊は N=N0e−ktN=N_0e^{-kt}。

第2問 — 固体物理

方針

フェルミエネルギーは「波数空間の球の体積」を数えるだけで出る。状態密度は kk 空間の球殻体積を EE で微分して求める。

典型ミス

スピン縮退の2を忘れると kFk_F の係数がずれる。第1ブリルアンゾーンの最大エネルギーは面中心ではなく立方体の隅で最大になるため、3成分すべて π/a\pi/a を入れる。

固体物理の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 材料物理化学

方針

次元解析は変数数から基本次元数を引く。境膜モデルは抵抗の直列和として書く。未反応核モデルは、界面反応律速と拡散律速の式の形を見分ける問題である。

典型ミス

Schmidt 数は μ/(ρD)\mu/(\rho D) であり、粘度と拡散係数の比を動粘度で正規化したものと考えると覚えやすい。総括流束ではスラグ側濃度を平衡定数で金属側基準に換算する。

材料物理化学の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 材料科学

方針

転位問題は用語を単独で覚えるのではなく、バーガースベクトルと転位線の幾何で整理する。状態図問題は、温度線を引いて共存相の端点を読み、レバー則を機械的に使う。

試験で書くべきポイント

Frank--Read 源は図が求められることが多い。文章だけで済ませず、固定端、張り出した転位線、放出される転位ループを簡単に描き、増殖が繰り返せる理由を書くと得点が安定する。

材料科学の途中式・最終答をPDFで見る

年度別の解答例（3年度）

  • 2026年度（全3問）

    量子物性 ／ 材料物理化学 ／ 金属材料学

  • 2025年度（全4問）

    基礎物理数学 ／ 固体物理 ／ 材料物理化学

  • 2024年度（このページ・全4問）

    基礎物理数学 ／ 固体物理 ／ 材料物理化学

2024年度の出題内容

全4問

この4問の分野は化学1問・材料力学・材料1問・物性物理1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問—基礎物理数学—あり
第2問物性物理固体物理—あり
第3問化学材料物理化学—あり
第4問材料力学・材料材料科学—あり

2024年度の解説には典型ミス3件・試験で書くべきポイント1件が付いています。

同じテーマを出した他大学・他年度

6テーマ

2024年度は3問に6テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第1問25大学・544問
テイラー展開第1問18大学・45問
RC回路の過渡応答第1問12大学・44問
転位第4問7大学・42問
境界層第3問8大学・30問
状態図・相変態第4問9大学・24問

名古屋工業大学の公式過去問

公開年度範囲
2025〜2027年度
公式の解答例
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