名大 情報学研究科 知能システム学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

微分方程式について考える。

1. 特性方程式は $$r^2-2r+1=(r-1)^2=0$$ であり、重解 $r=1$ をもつ。したがって一般解は $$y=(C_1+C_2x)e^x$$ である。ただし $C_1,C_2$ は任意定数である。

2. 左辺は $(D-1)^2y$ と書ける。$y=e^xv(x)$ とおくと $$(D-1)y=e^xv'(x),\qquad (D-1)^2y=e^xv''(x)$$ であるから、方程式は $$e^xv''(x)=2e^x,\qquad v''(x)=2$$ となる。よって $$v(x)=x^2+C_1x+C_2$$ であり、一般解は $$y=e^x(x^2+C_1x+C_2)$$ である。

2次形式について考える。$u=(x,y,z)^T$ とすると $$Q(x,y,z)=u^TAu,\qquad A= \begin{pmatrix} 1&0&2\\ 0&1&2\\ 2&2&-1 \end{pmatrix}$$ である。

1. まず $(1,-1,0)^T$ に対して $$A\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$ であるから、固有値 $1$ を得る。

   残りは $x=y$ の部分空間で調べればよい。ベクトルを $(a,a,b)^T$ と書くと $$A\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+2b\\a+2b\\4a-b\end{pmatrix}$$ である。固有値を $\lambda$ とすると $$a+2b=\lambda a,\qquad 4a-b=\lambda b$$ より $$\det \begin{pmatrix} 1-\lambda&2\\ 4&-1-\lambda \end{pmatrix} =\lambda^2-9=0$$ となる。したがって $\lambda=3,-3$ である。

   対応する単位固有ベクトルは、例えば $$\lambda=3:\quad \frac{1}{\sqrt3} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \qquad \lambda=1:\quad \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \qquad \lambda=-3:\quad \frac{1}{\sqrt6} \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$$ である。符号を全体に反転したものも同じ固有空間の単位固有ベクトルである。

2. 制約 $x^2+y^2+z^2=1$ は $\|u\|=1$ である。ラグランジュ未定乗数法を用いると $$\nabla(u^TAu)=2Au,\qquad \nabla(u^Tu)=2u$$ であるから、停留点では $$Au=\lambda u$$ が成り立つ。よって停留点における $Q$ の値は、$A$ の固有値そのものである。

   したがって値は $$3,\quad 1,\quad -3$$ である。このうち $3$ は球面上での極大値、$-3$ は球面上での極小値である。値 $1$ は中間の固有値に対応し、極大でも極小でもない。

置換と複素積分について考える。

1. $$t=\sqrt{x^2+1}+x$$ とおくと $$\frac{1}{t}=\sqrt{x^2+1}-x$$ である。したがって、和と差をとれば $$x=\frac{1}{2}\left(t-\frac1t\right) =\frac{t^2-1}{2t}, \qquad \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\left(t+\frac1t\right) =\frac{t^2+1}{2t}.$$ また $$x\sqrt{x^2+1} = \frac14\left(t-\frac1t\right)\left(t+\frac1t\right) = \frac{t^4-1}{4t^2}.$$

2. 上の置換から $$dx=\frac12\left(1+\frac1{t^2}\right)\,dt, \qquad \sqrt{x^2+1}=\frac12\left(t+\frac1t\right)$$ である。よって $$\begin{aligned} \int\sqrt{x^2+1}\,dx &= \int \frac14\left(t+\frac1t\right) \left(1+\frac1{t^2}\right)\,dt \\ &= \frac14\int\left(t+\frac2t+\frac1{t^3}\right)\,dt \\ &= \frac18\left(t^2-\frac1{t^2}\right) +\frac12\log t+C. \end{aligned}$$ ここで $t=\sqrt{x^2+1}+x>0$ であり、 $$\frac18\left(t^2-\frac1{t^2}\right) =\frac12x\sqrt{x^2+1}$$ だから $$\int\sqrt{x^2+1}\,dx = \frac12x\sqrt{x^2+1} +\frac12\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$$ である。

3. 経路を、実軸上の部分 $C_1$ と縦方向の部分 $C_2$ に分ける。 まず $C_1$ では $z=s$, $0\le s\le 1$ とおけるので $$\int_{C_1}|z|\,dz=\int_0^1 s\,ds=\frac12.$$ 次に $C_2$ では $z=1+is$, $0\le s\le 1$ とおけるので $$|z|=\sqrt{1+s^2},\qquad dz=i\,ds$$ である。したがって $$\int_{C_2}|z|\,dz = i\int_0^1\sqrt{1+s^2}\,ds = \frac{i}{2} \left(\sqrt2+\log(1+\sqrt2)\right).$$ 以上より $$\int_C |z|\,dz = \frac12+ \frac{i}{2}\left(\sqrt2+\log(1+\sqrt2)\right).$$