名大 情報学研究科 知能システム学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

1. 1ステップ後の割合は $$a_{n+1}=0.9a_n+0.3b_n,\qquad b_{n+1}=0.1a_n+0.7b_n$$ である。したがって $$S_{n+1}=AS_n,\qquad A= \begin{pmatrix} 0.9 & 0.3\\ 0.1 & 0.7 \end{pmatrix}$$ となる。

2. 固有値は $$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 0.9-\lambda & 0.3\\ 0.1 & 0.7-\lambda \end{vmatrix} =\lambda^2-1.6\lambda+0.6 =(\lambda-1)(\lambda-0.6)$$ より $$\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=0.6$$ である。

   $\lambda_1=1$ に対しては $$-0.1x+0.3y=0$$ なので固有ベクトルは $(3,1)^{\mathsf T}$ の定数倍である。単位固有ベクトルの一つは $$u_1=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.$$ $\lambda_2=0.6$ に対しては $$0.3x+0.3y=0$$ なので固有ベクトルは $(1,-1)^{\mathsf T}$ の定数倍である。単位固有ベクトルの一つは $$u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$

3. 固有ベクトルを列に並べて $$P= \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ とおく。このとき $$P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac14 & \frac14\\ \frac14 & -\frac34 \end{pmatrix}$$ であり， $$P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0.6 \end{pmatrix}$$ となる。

4. $S_0=(1,0)^{\mathsf T}$ のとき $$P^{-1}S_0 = \begin{pmatrix} \frac14\\ \frac14 \end{pmatrix}$$ である。よって $$S_n = P \begin{pmatrix} 1^n & 0\\ 0 & 0.6^n \end{pmatrix} P^{-1}S_0 = \frac14 \begin{pmatrix} 3+0.6^n\\ 1-0.6^n \end{pmatrix}.$$ $0.6^5=0.07776$ だから $$a_5=\frac{3.07776}{4}=0.76944,\qquad b_5=\frac{0.92224}{4}=0.23056.$$ 四捨五入して小数点以下第4位まで書くと $$a_5=0.7694,\qquad b_5=0.2306.$$

5. 一般の初期値を $S_0=(a_0,b_0)^{\mathsf T}$ とし，$a_0+b_0=1$ とする。 $$P^{-1}S_0 = \begin{pmatrix} \frac{a_0+b_0}{4}\\[1mm] \frac{a_0-3b_0}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac14\\[1mm] \frac{a_0-3b_0}{4} \end{pmatrix}.$$ したがって $$S_n = \frac14 \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} + \frac{a_0-3b_0}{4}(0.6)^n \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$ $n\to\infty$ で $(0.6)^n\to0$ となるので， $$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac34,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=\frac14.$$

極座標で $r=\sin5\theta$ と見ればよい。

1. $0\leq\theta\leq\pi$ の間に $\sin5\theta$ は5つの山を作るため，曲線は原点を中心とする5弁のバラ曲線である。$|\sin5\theta|$ が最大になるのは $$\theta=\frac{\pi}{10},\ \frac{3\pi}{10},\ \frac{5\pi}{10},\ \frac{7\pi}{10},\ \frac{9\pi}{10}$$ である。ただし $r<0$ となる区間では，点は角度を $\pi$ だけずらした側に描かれる。そのため実際の花弁は原点の周りに $2\pi/5$ 間隔で配置される。

2. 極座標表示で一度ずつ囲まれる部分の面積は $$\frac12\int r^2\,d\theta$$ で求まる。ここでは $0\leq\theta\leq\pi$ で5枚の花弁がちょうど一度ずつ描かれるから， $$\text{面積} = \frac12\int_0^\pi \sin^2 5\theta\,d\theta.$$ $\sin^2 5\theta=(1-\cos10\theta)/2$ より $$\frac12\int_0^\pi \sin^2 5\theta\,d\theta = \frac12\left[ \frac{\theta}{2}-\frac{\sin10\theta}{20} \right]_0^\pi = \frac{\pi}{4}.$$

線形写像なので，点の座標をベクトルとして比例関係をそのまま写せる。与えられた座標から $$P=(10,6,0)^{\mathsf T} =2(5,3,0)^{\mathsf T} =2D$$ である。したがって $$P'=f(P)=f(2D)=2f(D)=2D'.$$ $D'=(2,1,1)^{\mathsf T}$ だから $$P'=(4,2,2)^{\mathsf T}.$$