名大 情報学研究科 知能システム学 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

[1] 微分方程式

$u={}^t(x,x',x'')$ とおく。成分ごとに微分すると $$u'={}^t(x',x'',x''')$$ であり、与えられた方程式から $x'''=3x''+6x'-8x$ である。したがって $$\frac{du}{dt}=Au,\qquad A= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ -8&6&3 \end{pmatrix}.$$

この行列は同伴行列の形なので、固有値は特性方程式 $$\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+8=0$$ の解である。因数分解すると $$\lambda^3-3\lambda^2-6\lambda+8 =(\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda+2)$$ であるから、固有値は $$\lambda=1,\quad 4,\quad -2$$ である。よって一般解は $$x(t)=C_1e^t+C_2e^{4t}+C_3e^{-2t}$$ となる。ただし $C_1,C_2,C_3$ は任意定数である。

[2] 複素数

(a) $a_1=\sqrt3+i,\ a_2=2i$ とする。 $$\frac{a_1}{a_2} =\frac{\sqrt3+i}{2i} =\frac{1-\sqrt3\,i}{2}.$$ したがって絶対値は $$\left|\frac{a_1}{a_2}\right| =\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =1$$ であり、偏角は主値で $$\arg\frac{a_1}{a_2}=-\frac{\pi}{3}$$ である。

(b) 正三角形の重心を $c$ とし、原点中心に平行移動した頂点を $$w_1=z_1-c,\quad w_2=z_2-c,\quad w_3=z_3-c$$ とおく。正三角形の3頂点は、ある複素数 $a$ と $\omega=e^{2\pi i/3}$ を用いて $$w_1=a,\qquad w_2=a\omega,\qquad w_3=a\omega^2$$ と書ける。ここで $1+\omega+\omega^2=0$ である。

示すべき式の左辺を $$E(z_1,z_2,z_3) =z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1z_2-z_2z_3-z_3z_1$$ とおく。3点を同じだけ平行移動しても $E$ は変わらない。実際、 $$E(z_1+c,z_2+c,z_3+c)=E(z_1,z_2,z_3)$$ が直接計算で従う。したがって重心を原点に移した $w_i$ で計算すればよい。 $$\begin{aligned} E(w_1,w_2,w_3) &=a^2(1+\omega^2+\omega^4) -a^2(\omega+\omega^3+\omega^2)\\ &=a^2(1+\omega+\omega^2) -a^2(1+\omega+\omega^2)=0. \end{aligned}$$ よって指定された等式が成り立つ。

[3] 立体の体積

平面 $z=k$ による断面が空でないためには $0\le k\le 1$ が必要である。このとき断面 $S$ は $$x^{2/3}+y^{2/3}\le 1-k^{2/3},\qquad x\ge0,\ y\ge0$$ で与えられる。

(a) $x=r\cos^3t,\ y=r\sin^3t$ とおくと、第一象限だけを扱うので $$0\le t\le \frac{\pi}{2},\qquad r\ge0$$ である。また $$x^{2/3}+y^{2/3} =r^{2/3}(\cos^2t+\sin^2t)=r^{2/3}.$$ したがって $$0\le r\le (1-k^{2/3})^{3/2},\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.$$

(b) ヤコビアンは $$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,t)}\right| = \begin{vmatrix} \cos^3t&-3r\cos^2t\sin t\\ \sin^3t&3r\sin^2t\cos t \end{vmatrix} =3r\cos^2t\sin^2t.$$ よって、$R=(1-k^{2/3})^{3/2}$ とおくと $$\begin{aligned} \operatorname{Area}(S) &=\int_0^{\pi/2}\int_0^R 3r\cos^2t\sin^2t\,dr\,dt\\ &=\frac{3R^2}{2}\int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^2t\,dt\\ &=\frac{3R^2}{2}\cdot\frac{\pi}{16} =\frac{3\pi}{32}(1-k^{2/3})^3. \end{aligned}$$

(c) 体積は断面積を $k=0$ から $1$ まで積分して $$\begin{aligned} \operatorname{Vol}(V) &=\frac{3\pi}{32}\int_0^1(1-k^{2/3})^3\,dk\\ &=\frac{3\pi}{32}\int_0^1 \left(1-3k^{2/3}+3k^{4/3}-k^2\right)\,dk\\ &=\frac{3\pi}{32} \left(1-\frac{9}{5}+\frac{9}{7}-\frac13\right) =\frac{\pi}{70}. \end{aligned}$$