東大 新領域創成科学研究科 物質系専攻 専門科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説10項目）

(1) 境界条件で決まる波数

無限に高い壁の外へ粒子は存在できず、壁面でも波動関数はゼロになる。 井戸内の自由粒子の一般解は正弦と余弦の組み合わせだが、原点でゼロにする条件が余弦項を消し、もう一つの壁が波数を離散的にする。 これは幅 $L$ の中へ半波長が整数個入る条件 $L=n\lambda_n/2$、$a_n=2\pi/\lambda_n$ とも一致する。

$n=0$ では正弦が全ての点でゼロとなり、規格化できないので固有状態には数えない。 負の $n$ は波動関数全体の符号を変えるだけで、独立の状態を増やさない。 両端でゼロにする条件を周期境界条件と取り違え、$a_n=2n\pi/L$ とすると、許される状態の半分を落としてしまう。

(2) 非摂動の固有エネルギー

井戸内で位置エネルギーをゼロとしているので、エネルギーは運動エネルギーだけからなる。 $\hbar^2a_n^2/(2m)$ は波数 $a_n$ の自由粒子の運動エネルギーと同じ形だが、壁によって $a_n$ が量子化される。 $n\geq1$ だから最小値も $\epsilon>0$ であり、井戸内で静止してエネルギーゼロになる定常状態はない。

$L$ を2倍にすると各準位は4分の1になる。 運動エネルギーを小さくするには波動関数の変化を緩やかにする必要があり、広い井戸ほどそれが可能になるという関係である。 また $E_n^{(0)}$ は $n^2$ とともに増えるので、この一次元井戸の準位は縮退していない。 後の摂動式の分母にある $E_n^{(0)}-E_j^{(0)}$ は、$j\neq n$ ならゼロにならない。

(3) 一次のエネルギーと波動関数の係数

同じ固有状態への射影は準位のずれを、別の固有状態への射影はその状態がどれだけ混ざるかを取り出す。 $H_0$ を左へ移せるのは、波動関数と補正が同じ両端ゼロの境界条件を満たすためである。 部分積分で生じる境界項 $[\varphi_j^{(0)*}(\varphi_n^{(1)})'-(\varphi_j^{(0)*})'\varphi_n^{(1)}]_0^L$ はゼロになる。 正規直交性より $\langle j|\varphi_n^{(1)}\rangle=c_{nj}^{(1)}$ である。

原題の $c_{nn}^{(1)}=0$ は、一次補正を元の状態と直交させる規格化・位相の選び方である。 全ての状態の混合係数をゼロにする条件ではない。 また分母を $E_j^{(0)}-E_n^{(0)}$ のままにして符号を落とすと、混ざる波動関数の向きが逆になる。 準位が縮退する場合にはこの割り算はできず、縮退部分の摂動を先に対角化する必要があるが、今回の井戸ではその問題は起きない。

(4) 二次のエネルギー補正の導出

摂動 $H'$ が Hermite 演算子なので、二つの行列要素は複素共役になり、その積が絶対値の二乗になる。 一般に複素数の可能性がある行列要素を、そのまま通常の二乗へ置き換えない。 また二次の波動関数を明示的に解かずに済むのは、その射影項が左右で同じ係数を持って消えるためであり、$\varphi_n^{(2)}=0$ と仮定したためではない。

基底状態 $n=1$ では、和に入る全ての $j$ に対して $E_1^{(0)}-E_j^{(0)}<0$ である。 従って二次補正は非正であり、非零の混合があれば負になる。 この符号は後の計算の検算に使える。 $j=n$ を和に残すと分母がゼロになり、そもそも一次補正を展開した範囲にも合わない。

(5) 余弦ポテンシャルの一次エネルギー

$\theta\mapsto\pi-\theta$ で、非摂動の確率密度 $\sin^2\theta$ は変わらず、$\cos\theta$ は符号を反転する。 左半分の負のポテンシャルによる寄与と右半分の正の寄与が、一次の期待値ではちょうど相殺する。 原始関数を使った上の積分と、井戸中央に関する対称性の二通りでゼロを確認できる。

ここでゼロなのはエネルギーの一次補正であり、波動関数まで変わらないという結論ではない。 元の状態から別の準位への行列要素は残り得るので、次問では状態の混合が生じる。 $V_0(0)=-v_0$ だけを使ってエネルギーが一律に $-v_0$ ずれるとするのは、位置に依存するポテンシャルを一定値へ置き換えた計算である。

(6) 一次までの基底波動関数

実際の摂動では $v_0$ がエネルギーの次元を持つので、小さい量は混合係数のような無次元比で判断する。 今回の隣の準位差は $3\epsilon$ であり、$|\langle2|V_0|1\rangle|/(3\epsilon)\ll1$ の範囲で一次近似を使う。 両端で二つの正弦がともにゼロになるので、補正後も壁の境界条件を満たす。

$\varphi_2^{(0)}$ は左半分で正、右半分で負だから、正の係数 $\eta$ は左側の振幅を増やし、右側を減らす。 これはポテンシャルが低い左へ粒子が偏る向きと一致する。 分母の符号を誤ると、この物理的な変化まで逆にする。 二状態が直交しているので、この近似波動関数の全確率は $1+\eta^2$ であり、一次の範囲では既に1だが、二次まで厳密に規格化した式とは区別する。

(7) 左半分に粒子がいる確率

Born の規則による位置の確率は、規格化された波動関数の絶対値の二乗の積分である。 未規格化の式を使う場合は全空間の積分で割るが、今回の分母は $1+\eta^2$ なので、一次の結果には影響しない。 具体的に二状態の近似だけを厳密に規格化すれば、左半分の確率は $\{1/2+8\eta/(3\pi)+\eta^2/2\}/(1+\eta^2)$ となり、一次まで展開すると上の答えへ戻る。

$v_0>0$ なので左の確率は $1/2$ より大きくなる。 右半分では交差項の符号が逆になり、一次の確率の和は1になる。 $\varphi_1^{(0)}$ と $\varphi_2^{(0)}$ が直交するから交差項が消えると考えるのは、全区間の直交性を半区間へ適用した誤りである。 また大きな $v_0$ にまで一次式を外挿して確率が1を超えるなら、摂動の小ささの条件を失っている。

(8) 二次までの基底エネルギー

基底状態から上の準位への混合は、負の分母を通してエネルギーを下げる。 行列要素は $-v_0/2$ だが、分子は絶対値の二乗なので正であり、補正の負号は分母から生じる。 二つの負号を打ち消して二次補正を正とするのは、一次の混合係数の符号と、二次のエネルギーの符号を混同している。 次元も $v_0^2/\epsilon$ でエネルギーになっている。

変分的にも、非摂動の基底波動関数を試行関数に使った期待値は $\epsilon$ なので、真の基底エネルギーはそれ以下である。 負の二次補正はこの上限と整合する。 さらに井戸を左右反転すると $v_0$ の符号だけが反転してスペクトルは変わらないため、非縮退状態の解析的な小さい摂動展開ではエネルギーは $v_0$ の偶数次で変化する。 一次がゼロでも二次の低下が残ることを、この対称性からも確かめられる。

真性半導体は、外部から加えた不純物の供給より熱励起した電子と正孔が支配する半導体である。通常の浅い不純物のドーピングでは、ドナーまたはアクセプターに由来する担体が支配する外因性半導体になる。一方、十分な高濃度では金属的な伝導に達する場合もある。原題には濃度や温度の条件がないため、③の真性半導体と、④に対応するドーピング後の伝導分類を区別する。本書では④を一語へ固定せず、通常の条件と高濃度の場合を説明している。