室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（化学生物工学・共創情報学A系） 2026年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説12項目）

同位体で変わる中性子数と、変わらない原子番号を分ける。分子の質量は等しい組を確認して数え、燃焼熱は原題の生成値を係数付きで加減する。

硫黄の酸化状態と結合形状を対応させる。二段階解離では各段の反応物を分母に置き、第二段を無視できる条件を濃度比で示す。

結合長と双極子を、結合次数とベクトルの相殺から考える。環状分子のR/Sは環の二経路の順位を比較し、最低順位の向きを確認する。

タンパク質と核酸の荷電・結合を構造から読む。GC含量と融解温度の関係を説明し、多糖では結合様式と貯蔵・構造用途を対応させる。

真核生物の転写とRNA加工、翻訳の場所を区別する。競争阻害の速度式は見かけのKmとVmaxに整理し、平衡や酵素量の変化と混ぜない。

再循環するアンモニア合成では、分離器で除く生成物と戻す未反応物を分ける。新規供給の全体収支と反応器の局所収支を併用する。

［1］(1) 一次反応

濃度$C=n/V$の時間変化が$-dC/dt=kC^{\alpha}$に従うとき、濃度に掛かる指数$\alpha$を反応次数という。反応式の量論係数から自動的に決まる数ではない。本問の一次式は、温度・体積が一定で$k_1$を定数として扱う範囲の式である。初期条件$C(0)=C_0>0$を使えば $$\int_{C_0}^{C(t)}\frac{dC'}{C'}=-k_1\int_0^t dt',\qquad C(t)=C_0e^{-k_1t}.$$ したがって$t=0$で$C=C_0$、$t\to\infty$で$C\to0$となり、濃度が負になる式ではない。半減期は$C/C_0=1/2$を代入して$t_{1/2}=\ln2/k_1$と導ける。

変数を分離して$dC/C=-k_1dt$を積分すると、対数に入るのは濃度の比で無次元になる。一次反応では半減期が初濃度に依存しないので、半分に20分、さらに半分に20分で四分の一へ達する。速度定数に濃度の単位を付けると積分式の右辺が無次元にならない。濃度を四分の一にする時間を半減期の四倍とするのではなく、半減操作の回数を数える。

［1］(2) 二次反応

ここで指定された二次速度式は$-dC/dt=k_2C^2$そのものであり、反応速度を別の量論係数で割った定義へ変更しない。一定温度・一定体積で$k_2$を定数とすると $$\int_{C_0}^{C(t)}\frac{dC'}{C'^2}=-k_2\int_0^t dt',\qquad \frac1{C(t)}-\frac1{C_0}=k_2t,\qquad C(t)=\frac{C_0}{1+k_2C_0t}.$$ この式から半減期は$t_{1/2}=1/(k_2C_0)$となり、初濃度を半分にすると半減期は二倍になる。$k_2$の単位は、濃度/時間を濃度の二乗で割った$\mathrm{dm^3\,mol^{-1}min^{-1}}$である。

二次反応では濃度の逆数が時間に比例する。最初の半減まで20分でも、次の半減には低い濃度のため40分かかる。初濃度からの経過時間は合計60分であり、一次反応の40分を流用できない。$k_2t$は逆濃度の単位を持つので、k2の単位も一次と異なる。求めた60分を積分式へ戻せば、逆濃度が125から500へ増え、Cが0.00200になることを確認できる。

［2］(1) 質量モル濃度

質量モル濃度の定義は、溶質の物質量$n_2$を溶媒の質量$m_1$（kg）で割った$b=n_2/m_1$である。希薄溶液で溶質が不揮発性・非電解質であり、固まる相が純溶媒である範囲では、溶媒の化学ポテンシャルが $$\mu_1^{\rm l}=\mu_1^{\rm l,*}+RT\ln x_1$$ だけ下がる。凝固は液相と固相の$\mu_1$が等しい温度で起きる。純溶媒の凝固点$T_f^*$付近で、融解の化学ポテンシャル差を一次で展開すると $$\mu_1^{\rm l,*}-\mu_1^{\rm s,*} \simeq-\frac{\Delta H_{\rm fus}}{T_f^*}(T-T_f^*).$$ これと$\ln x_1=\ln(1-x_2)\simeq-x_2$から $$\Delta T_f=T_f^*-T_f \simeq\frac{R(T_f^*)^2}{\Delta H_{\rm fus}}x_2=K_fb,\qquad K_f=\frac{R(T_f^*)^2M_1}{\Delta H_{\rm fus}}$$ を得る。最後に$x_2\simeq n_2/n_1=bM_1$を使い、溶媒のモル質量$M_1$は$\mathrm{kg\,mol^{-1}}$で表す。$K_f$の単位は$\mathrm{K\,kg\,mol^{-1}}$なので、$K_fb$は温度になる。濃厚溶液、溶質の会合・解離、固溶体形成がある場合には、この近似を無条件には使えない。

凝固点降下は純溶媒の凝固点から溶液の凝固点を引いた正の量である。負の温度どうしでも、より低い−25.08を引くと正になる。束一性は溶けている粒子の数を反映し、原題の非電解質では解離や会合の補正係数を1とする。温度差は℃で引いてもKで引いても同じ数値なので、273.15を片方だけへ加えてはいけない。

［2］(2) 沸点

沸点は溶液の蒸気圧が外圧に達する温度である。非電解質・不揮発性の溶質を少量溶かし、溶媒蒸気を理想気体として扱うと、溶媒の蒸気圧は$p_1=x_1p_1^*(T)$となる。純溶媒の沸点$T_b^*$では$p_1^*(T_b^*)=P_{\rm ext}$であるから、溶液の沸点では $$\ln\frac{p_1^*(T_b)}{p_1^*(T_b^*)}=-\ln x_1\simeq x_2.$$ 蒸発エンタルピーを狭い温度範囲で一定とするClausius--Clapeyron式 $$\frac{d\ln p_1^*}{dT}=\frac{\Delta H_{\rm vap}}{RT^2}$$ を$T_b^*$付近で積分・一次展開すれば、 $$\Delta T_b=T_b-T_b^*\simeq\frac{R(T_b^*)^2}{\Delta H_{\rm vap}}x_2=K_bb, \qquad K_b=\frac{R(T_b^*)^2M_1}{\Delta H_{\rm vap}}$$ となる。同じ溶液では$b$は共通だが、$K_b$は蒸発の性質、前問の$K_f$は融解の性質から決まる。$K_b=4.00\ \mathrm{K\,kg\,mol^{-1}}$へ$b$を掛けてから、純溶媒の沸点へ足す。

不揮発性溶質を加えると溶媒の蒸気圧が下がり、外圧に達するには以前より高い温度が必要になる。したがって沸点上昇の符号は正である。凝固点降下定数30.0と沸点上昇定数4.00は別の物性であり、同じ温度幅を使い回すことはできない。求めた上昇0.200 Kは凝固点降下1.50 Kの$4/30$倍で、両定数の比とも一致する。

［2］(3) 溶質のモル質量

モル質量は$M=m_2/n_2$、質量モル濃度は$b=n_2/m_1$という別の定義である。後者を$n_2=bm_1$と解き、前者へ代入すれば$M=m_2/(bm_1)$となる。ここでは$m_2$をg、$m_1$をkgで扱うため、分母$(\mathrm{mol\,kg^{-1}})\mathrm{kg}$はmolとなり、答えは$\mathrm{g\,mol^{-1}}$となる。gとkgを同じ文字$m$だけで混同しない。

質量モル濃度の分母は溶媒のkgで、溶液全体の質量ではない。200 gを0.200 kgへ直し、0.0500 mol/kgを掛ければ溶質の物質量が得られる。溶質1.28 gを含めた201.28 gで割ると、束一性の定義と異なる濃度になる。逆に得たモル質量から$1.28/128=0.0100$ molを計算し、0.200 kgで割ると元のbに戻る。

［3］(1) 混合Gibbsエネルギー

化学ポテンシャルの定義は$\mu_i=(\partial G/\partial n_i)_{T,P,n_{j\ne i}}$である。理想溶液では、混合によるエンタルピー変化を0とし、分子の配置によるエントロピー変化を考える。同種分子を区別しない配置数$W=N!/\prod_iN_i!$へ$S=k_{\rm B}\ln W$とStirling近似を使うと $$\Delta_{\rm mix}S=-R\sum_i n_i\ln x_i,\qquad \Delta_{\rm mix}G=-T\Delta_{\rm mix}S=RT\sum_i n_i\ln x_i$$ となる。この$G$を$n_i$で微分すれば$\mu_i-\mu_i^*=RT\ln x_i$も得られる。同じ温度・圧力で二成分を混ぜる過程に対する式であり、相互作用の差が大きい実在溶液では過剰項が必要になる。

混合前の純物質では各xが1なので対数項は0、混合後はxが1より小さく対数が負になる。理想溶液の混合エンタルピーは0だが、混合によるエントロピーの増加が$\Delta G=-T\Delta S$を負にする。1 mol当たりの値と、二成分を合計した全2 molの値を区別する必要がある。式のnを落とすと半分の大きさを答えてしまう。混合によって自発性を得る符号が負であることも確認する。

［3］(2) 全蒸気圧

Raoultの法則$p_i=x_ip_i^*(T)$は、液相の活動度がモル分率に等しい理想溶液と、理想気体として扱える蒸気の平衡に対する式である。液相と蒸気相の化学ポテンシャルを等しく置くと $$\mu_i^{\rm l,*}+RT\ln x_i =\mu_i^{\rm g,\circ}+RT\ln\frac{p_i}{p^\circ}.$$ 純成分の平衡式$\mu_i^{\rm l,*}=\mu_i^{\rm g,\circ}+RT\ln(p_i^*/p^\circ)$を引けば、$\ln x_i=\ln(p_i/p_i^*)$となり、上の法則を導ける。ここで$p_i$は分圧、$p_i^*$は同温度の純成分の飽和蒸気圧であり、二つは同じ量ではない。気相の全圧は各分圧の和なので、液相の$x_i$を使って足し合わせる。

液相における各成分のモル分率を、純成分の蒸気圧へ掛けると分圧が得られる。等モル混合なので全圧は二つの純蒸気圧の平均となり、8.65と26.4 kPaの間に入る。両蒸気圧をそのまま足すと、各成分が純液体のまま同じ蒸気相を作るという別の条件になる。最終表示は丸めても、次の蒸気組成を求めるまで内部の桁は保つ。

［3］(3) 蒸気中のベンゼン分率

Daltonの法則は、同じ温度$T$・体積$V$を占める理想混合気体で$p_i=n_i^{\rm g}RT/V$、$P=(\sum_jn_j^{\rm g})RT/V$と書けることから、$p_i/P=n_i^{\rm g}/\sum_jn_j^{\rm g}=y_i$を与える。$y_i$は気相のモル分率であり、前問の液相の$x_i$とは区別する。Raoultの法則と組み合わせると、 $$y_i=\frac{x_ip_i^*}{\sum_jx_jp_j^*}$$ となるので、蒸気圧が異なる二成分では、等モルの液体から等モルの蒸気ができるとは限らない。

蒸気中の分率は、液相の0.5と同じではない。純蒸気圧の高いベンゼンほど蒸発しやすいため、蒸気側では0.753へ濃縮される。もう一方は$1-y=0.247$で、二成分の分率の和は1になる。公式例の0.754は全圧を先に17.5へ丸めてから割った値であり、途中の桁を保つ本書の0.753とは丸め順による小差である。質量分率とモル分率をここで交換しない。

沈殿と錯形成を実験ごとに対応させる。元素Wの候補は族・溶解性・異価置換を同時に照合し、別問の結晶条件を持ち込まずに判定する。

反応が進む条件と、進む場合の配向性を分けて考える。交差アルドールと環状E2は許される経路を列挙し、生成物選択性を条件から判断する。

膜脂質の構成成分、代謝経路、光合成の反応の場所を整理する。明反応で生じるATPと還元力が、その後の炭酸固定へ使われる流れを追う。

青白選択はベクターの導入と目的挿入の確認を分ける。DNA複製では開始・伸長・連結の各酵素を、それぞれの化学反応へ対応させる。

管内流れは連続式とReynolds数、回分反応は積分収支を使う。遠心沈降では運動方程式から時間を求め、Stokes則の適用を粒子Reで確認する。