北大 工学院 専門科目（材料科学専攻） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説12項目）

酸化物の自由エネルギーを酸素1 mol基準にそろえると、金属や還元ガスの還元力を同じ図で比較できる。相変化に伴う勾配の違いを読み、水素と水蒸気の圧力比を反応商へ入れて平衡境界を求める。

熱容量から反応の温度変化を追う際は、エンタルピーにはCp、エントロピーにはCp/Tを積分する。標準生成量から反応差を作り、同じ反応式・同じ単位にそろえて自由エネルギーへ結ぶ。

二相共存の組成は、自由エネルギー曲線の共通接線で決まる。接線の切片と化学ポテンシャル、相量と成分保存、同じ標準状態で定義した活量を対応させると、状態図・接線・活量の3つの図を結び付けられる。

ボーア模型では、クーロン力と円運動だけに加えて角運動量の量子条件を使う。速度を消去して軌道半径を求め、運動エネルギーも含む全エネルギーからイオン化に必要な正のエネルギーを計算する。

格子欠陥の上付きはイオン自身の電荷ではなく、完全な格子サイトとの差を表す。置換先と価数差から電荷補償を決め、空孔と格子間の配置を区別し、配置数の増加を含む自由エネルギーから欠陥濃度を求める。

光の吸収と電流の増加は、励起された状態が自由キャリアとして運べるかで異なる。発光の時間過程、局所磁気モーメントの秩序、磁化反転のヒステリシスも、それぞれ観測量と微視的な過程を対応させて説明する。

亜鉛の湿式製錬は、硫化物の焙焼、酸への浸出、電極反応を順につなぐと整理できる。電力原単位では、析出量から電子の電荷を求め、電流効率による損失と槽電圧を含めて仕事へ換算する。

鉱石の付着水と結晶水では、除去する操作も炉の熱負担も異なる。鉄酸化物の平衡は、純固体の活量と水素・水蒸気の反応商から求め、水素比が高い側ほど還元が進むことと照合する。

問(1)(A)　レイノルズ数の意味

運動量方程式の慣性項は代表的に $\rho U^2/L$、粘性項は $\eta U/L^2$ の大きさをもつ。両者の比を取ると $\rho UL/\eta$ となる。移流によって運動量を運ぶ効果と、粘性拡散で速度差をならす効果のどちらが優勢かを比較している。

同じ形状と境界条件の流れで、他の支配的な無次元数の影響を無視できれば、Reを一致させることで無次元速度場を対応させられる。Reが小さい流れでは粘性の影響が相対的に強く、大きい流れでは慣性の影響が強い。ただし値だけであらゆる流れの層流・乱流を一律に分けることはできず、形状や擾乱にも依存する。

$\nu$ と $\eta$ は単位が違う。$\nu$ は $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$、$\eta$ は $\mathrm{Pa\,s}$ である。動粘性係数を使う式へ密度をもう一度掛けて $\rho UL/\nu$ とすると、無次元にならない。

問(1)(B)　同じ管内での水と空気

体積流量 $Q$ は単位時間に通過する体積であり、断面の速度を積分した $Q=\int_Au\,dA$ である。断面平均速度の定義 $\overline U=Q/A$ を使えば、速度分布が一様でなくても平均値を求められる。円管の代表長さには同じ内直径を用いるので、相似条件で直径が相殺する。

動粘性係数の大きい空気では、同じ速度と同じ管径ならReが水の15分の1になる。従って速度を15倍すれば一致する。答えを15で割ると空気のReが水の225分の1になり、相似からさらに遠ざかる。

内直径40.0 mmは0.0400 mであり、断面積は $\pi d^2/4$ である。直径を半径として $\pi d^2$ を使うと平均速度が4分の1になる。流量と速度は単位も異なるため、$5.03\times10^{-5}$ をそのまま速度へ代入しない。

問(1)(C)　翼の模型実験と局所速度

模型の局所速度を実機へ移すには、先に模型で必要な遠方流速を決めなければならない。形状相似に加えてReが一致したとき、対応点では $u/U_\infty$ が一致する。長さ比12だけを局所速度に掛けるのではない。

実機を静止させた座標系では、遠方の空気が巡航速度と同じ速さで流入する。回流水槽の模型でも、この遠方流と翼面近傍の局所流を区別している。今回、模型の局所値2.00 m/sは遠方値16.0 m/sの1/8なので、実機でも20.0 m/sの1/8となる。

原題の答えは機体との相対流速であり、対地速度を求めているのではない。局所速度に巡航速度を単純に足して22.5 m/sとする操作は、速度ベクトルの向きと座標系を無視している。相似実験では圧縮性や自由表面の影響が無視できる範囲であることも適用条件になる。

問(2)(A)　ハーゲン・ポアズイユ流れ

十分発達した流れでは、管軸方向へ進んでも断面内の速度分布の形が変わらない。軸対称で旋回がなく、軸方向速度は半径 $r$ のみの関数 $v_x(r)$ になる。流体を前へ押す圧力と、壁に近い遅い流体から受ける粘性せん断がつり合って分布を作る。

円管層流の分布では中心速度が最大で、壁では0となる。後の式を断面積分すると平均速度は中心速度の半分である。断面全体を同じ速度とした栓流は、このすべりなしの粘性層流の分布とは異なる。

入口直後では境界層が成長中で十分発達していないことがある。また乱流では運動量輸送に速度変動の寄与が加わるため、圧力勾配と流量の関係をこの層流式のまま適用できない。

問(2)(B)　円柱要素の力から求める速度分布

Newton流体のせん断応力は速度勾配に比例し、$\tau_{rx}=\eta\,dv_x/dr$ である。中心から外側へ速度が下がるため、この勾配は負となる。半径 $r$ の円柱の外側にある流体は、円柱を後ろへ引く向きの粘性力を及ぼす。これを符号付きで側面積 $2\pi r\Delta x$ に掛けて、前向きの圧力差の力へ加えると0になる。

圧力勾配と粘性係数が一定なので積分は $r^2$ の項となる。積分定数は中心速度を仮定して決めるのでなく、すべりなしの壁面条件から決める。結果は中心で有限、$dv_x/dr=0$ となり、軸対称性も満たす。

さらに断面を積分すれば $$Q=2\pi\int_0^a v_x(r)r\,dr =\frac{\pi a^4}{8\eta}\left(-\frac{dp}{dx}\right)$$ となる。速度式の次元は $(\mathrm{Pa\,m^{-1}})\mathrm{m^2}/(\mathrm{Pa\,s})=\mathrm{m\,s^{-1}}$ である。側面積を $\pi r^2$ と取り違えると圧力面とせん断面の役割を混ぜ、半径依存も係数も誤る。

時効強化を考えるには、溶体化、急冷、析出の順に組成と温度を追う。微細析出物の切断と粗大粒子の迂回では転位抵抗の決まり方が異なり、過時効で軟化する理由も粒子間隔と対応する。

引張曲線では、公称ひずみと公称応力の軸を確認して物性値を読む。多軸応力では平均成分と偏差成分を分けて弾性ひずみと降伏を計算する。原題のテンソルと指定主応力が両立しない部分は、使用する条件を明記して扱う。

格子の原子数は単位胞の共有割合、原始体積は基本ベクトルの三重積で求める。X線回折では構造因子の位相差から消滅則を導き、ピーク角の比と格子定数を照合する。ピーク位置・幅・相対強度の変化も区別する。