東大 工学系研究科 社会基盤学専攻 専門科目 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全8問）

座標 $z$ を梁軸方向、$y$ を断面高さ方向とする。断面は幅 $2w$、高さ $2h$ で、ヤング率は $E=E(y)$ とする。中立面の位置を $y=\bar y$ とおく。

(1) 曲げによる軸応力

Euler--Bernoulli 梁では、平面保持により中立面から距離 $y-\bar y$ にある繊維の軸ひずみは曲率 $1/R$ に比例する。ここでは上側が引張となる符号を正に取れば $$\varepsilon_z(y)=\frac{y-\bar y}{R}, \qquad \sigma_z(y)=E(y)\varepsilon_z(y) =\frac{E(y)(y-\bar y)}{R}.$$ 曲げモーメントの向きを逆に取る規約では全体に負号が付くが、以後の中立軸条件と曲げ剛性は同じである。

(2) 中立面と曲げ剛性

軸方向合力が 0 であることから $$N=2w\int_{-h}^{h}\sigma_z(y)\,dy =\frac{2w}{R}\int_{-h}^{h}E(y)(y-\bar y)\,dy=0.$$ したがって $$\boxed{\displaystyle \bar y= \frac{\int_{-h}^{h}yE(y)\,dy} {\int_{-h}^{h}E(y)\,dy}}$$ 中立軸まわりのモーメントは $$M=2w\int_{-h}^{h}\sigma_z(y)(y-\bar y)\,dy =\frac{2w}{R}\int_{-h}^{h}E(y)(y-\bar y)^2\,dy .$$ 上の合力条件より $$\int E(y)(y-\bar y)^2\,dy = \int y^2E(y)\,dy-\bar y\int yE(y)\,dy$$ であるから、 $$\boxed{\displaystyle M=\frac{1}{R}K,\qquad K=2w\left( \int_{-h}^{h}y^2E(y)\,dy -\bar y\int_{-h}^{h}yE(y)\,dy \right)} .$$ また $E(y)=E(-y)$ なら $yE(y)$ は奇関数なので $$\int_{-h}^{h}yE(y)\,dy=0$$ となり、$\bar y=0$ である。

(3) 支配方程式と境界条件

曲率の近似 $1/R=d^2u/dz^2$ を用いると $$M(z)=K\frac{d^2u}{dz^2}.$$ 分布荷重がない梁要素ではせん断力 $V=dM/dz$、荷重 $q=-dV/dz$ より $$\frac{d^2M}{dz^2}=0.$$ この問題では断面と材料分布が $z$ に依存しないので $K$ は定数であり、 $$\boxed{\displaystyle K\frac{d^4u}{dz^4}=0}$$ が支配方程式である。

固定端を $z=0$、自由端を $z=L$ とすれば、4 個の境界条件は $$u(0)=0,\qquad u'(0)=0,\qquad K u''(L)=M_0,\qquad K u'''(L)=0 .$$ 最後の条件は自由端に横力が作用していないことを表す。

(4) 2 種類の傾斜材料梁

いずれのヤング率も偶関数なので中立軸は $y=0$ である。したがって $$K=2w\int_{-h}^{h}y^2E(y)\,dy.$$ ここで $$E_1=E_0\left(1+5\frac{y^2}{h^2}\right),\qquad E_2=E_0\left(1+7\frac{y^4}{h^4}\right)$$ と読むと、 $$K_1 =2wE_0\left( \frac{2h^3}{3} +\frac{5}{h^2}\frac{2h^5}{5} \right) =\frac{16}{3}wE_0h^3,$$ $$K_2 =2wE_0\left( \frac{2h^3}{3} +\frac{7}{h^4}\frac{2h^7}{7} \right) =\frac{16}{3}wE_0h^3.$$ 自由端回転角は $\theta(L)=M_0L/K$ であるから、 $$\boxed{\theta_1:\theta_2=1:1}.$$ 一方、同じ曲率での応力は $\sigma=E(y)y/R$ である。最大応力は端部 $|y|=h$ で比較すればよく、 $$E_1(h)=6E_0,\qquad E_2(h)=8E_0.$$ したがって最大応力は $E_2$ の梁の方が大きい。

(5) 市松状二材料断面

4 分割された市松断面では、上下半分・左右半分の平均ヤング率がどちらも $(E_1+E_2)/2$ になる。したがって剛性重心は断面中央にあり、中立軸は $x$ 軸、$y$ 軸と一致する。

ただし、対角方向で材料が入れ替わるため $$D_{xy}=\int_A E(x,y)xy\,dA$$ は 0 にならない。実際、$xy>0$ の 2 象限に $E_2$、$xy<0$ の 2 象限に $E_1$ が配置されているので、$E_2>E_1$ のとき $D_{xy}>0$ である。よって $x$ 軸まわりのモーメントだけを与えても、曲率ベクトルは一般に $x$ 軸成分だけにならず、$x$ 軸まわりと $y$ 軸まわりの曲げが連成する。

材料 $E_1$ だけで同じ変位・回転を再現するには、単に矩形断面の高さを変えるだけでは不十分である。対象荷重に対して $$E_1 I_x^\ast=D_{xx},\qquad E_1 I_{xy}^\ast=D_{xy}$$ が成り立つような非対称断面、または主軸を回転させた等価断面を設計する。特定の $M_x$ のみを再現する目的なら、二材料梁で生じる曲率 $(\kappa_x,\kappa_y)$ を先に求め、それと同じ曲率を与える $E_1$ 単材断面の断面二次モーメント行列を合わせればよい。