東大 工学系研究科 社会基盤学専攻 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説

大問1：梁理論と断面力学

(1-a) Euler--Bernoulli 梁理論の主要仮定

• 変形は無限小で、材料は線形弾性とする。
• 平面保持仮定：変形後も断面は平面のまま保たれ、変形した中立面に直交する（断面は「反らない」）。
• せん断変形は無視できる（横断面の回転はたわみ曲線の傾きに等しい）。

(1-b) 中立面から距離 $z$ の繊維の軸ひずみ

中立面（$z=0$）の曲率半径を $R$ とし、曲げにより微小角 $d\theta$ だけ回転したとする。 中立面上の長さは $R\,d\theta$ である一方、$z$ だけ離れた繊維の長さは $(R-z)d\theta$ である。 従って軸ひずみは $$\varepsilon_x(z) =\frac{(R-z)d\theta-Rd\theta}{Rd\theta} =-\frac{z}{R}.$$

(1-c) 軸応力の線形分布

線形弾性より $\sigma(z)=E\varepsilon_x(z)$ であるから $$\sigma(z)=-\frac{E}{R}\,z$$ となり、$\sigma$ は $z$ に関して線形である。

(2) 曲げモーメントと曲率の関係 $M=\frac{EI}{R}$

曲げが $Y$ 軸回り（断面内の $z$ 方向に応力が線形）であるとし、モーメントの釣合い $$M=\int_A \sigma(z)\,z\,dA$$ に $\sigma(z)=-(E/R)z$ を代入すると $$M=-\frac{E}{R}\int_A z^2\,dA =-\frac{EI}{R}, \qquad I:=\int_A z^2\,dA.$$ 符号は取り方によるので、一般に $$|M|=\frac{EI}{R}$$ である。 円環断面（内半径 $r_1$、外半径 $r_2$）では極座標 $z=r\sin\theta$ を用いて $$I=\int_{r_1}^{r_2}\int_0^{2\pi} (r\sin\theta)^2\,r\,d\theta\,dr =\left(\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\right)\left(\int_{r_1}^{r_2}r^3\,dr\right) =\pi\cdot\frac{r_2^4-r_1^4}{4}$$ より $I=\frac{\pi}{4}(r_2^4-r_1^4)$ を得る。

(3-a) 水平切断面のせん断応力（一般式）

梁の微小区間 $dx$ を取り、水平面 $z=\text{const}$ で下側部分 $\hat A$ を切り出す。 区間の両端での軸応力差による合力は $$\int_{\hat A}\{\sigma(x+dx)-\sigma(x)\}\,dA \simeq \int_{\hat A}\frac{d\sigma}{dx}\,dx\,dA.$$ この合力を切断面に一様に分布するせん断応力 $\tau$ が受け持つとみなすと $\tau\,b(z)\,dx=\int_{\hat A}(d\sigma/dx)\,dx\,dA$ であるから $$\tau(z)=\frac{1}{b(z)}\int_{\hat A}\frac{d\sigma}{dx}\,dA.$$ 円環断面で $-r_1\le z\le r_1$ のとき、切断面の幅は $$b(z)=2\bigl(\sqrt{r_2^2-z^2}-\sqrt{r_1^2-z^2}\bigr)$$ なので、与式が得られる。

(3-b) $\tau$ を $I$、$\frac{dM}{dx}$、$J=\int_{\hat A}z\,dA$ で表す

$\sigma=-(M/I)z$ より $\frac{d\sigma}{dx}=-(dM/dx)\,z/I$ である。従って $$\int_{\hat A}\frac{d\sigma}{dx}\,dA =-\frac{1}{I}\frac{dM}{dx}\int_{\hat A}z\,dA =-\frac{1}{I}\frac{dM}{dx}\,J,$$ すなわち $$\tau(z)=-\frac{1}{b(z)}\frac{dM}{dx}\frac{J(z)}{I}.$$ （$dM/dx$ は慣習的にせん断力 $V$ と同一視できる。）

(3-c) 最大せん断応力

せん断応力は中立軸付近で最大となるので $z=0$ を評価する。 円環断面の面積 $A=\pi(r_2^2-r_1^2)$、$b(0)=2(r_2-r_1)$。 また $z=0$ での一次モーメントは半円環より $$Q=\int_{z>0} z\,dA=\frac{2}{3}(r_2^3-r_1^3).$$ $\tau_{\max}=|V|\,Q/(Ib(0))$ に $I=\frac{\pi}{4}(r_2^4-r_1^4)$ を代入して整理すると $$\tau_{\max} =\frac{4}{3A}\frac{r_2^2+r_1r_2+r_1^2}{r_2^2+r_1^2}\,|V| =\frac{4}{3A}\frac{r_2^2+r_1r_2+r_1^2}{r_2^2+r_1^2}\left|\frac{dM}{dx}\right|.$$

(4-a) 二重円環梁が負担する曲げモーメントの配分（摩擦なし）

内管・外管が同じたわみ曲率 $\kappa$ を共有するとすると $$M_1=EI_1\kappa,\qquad M_2=EI_2\kappa,\qquad M=M_1+M_2.$$ よって配分は $$\frac{M_1}{M}=\frac{I_1}{I_1+I_2},\qquad \frac{M_2}{M}=\frac{I_2}{I_1+I_2},$$ ただし $I_1=\frac{\pi}{4}(r_2^4-r_1^4),\; I_2=\frac{\pi}{4}(r_3^4-r_2^4)$ である。

(4-b) 接着しても変形は（理想化の下では）変わらない

両者が接着されると断面は $r_1$ から $r_3$ の一体円環となり $I_{\text{all}}=\frac{\pi}{4}(r_3^4-r_1^4)=I_1+I_2$ である。 従って曲げ剛性 $EI$ は摩擦なしの場合に見た「和」と同じであり、同じ曲げモーメント $M$ に対する曲率 $\kappa=M/(EI)$ も同じになる。 （接着は界面の相対すべりを抑えるが、同心円環で $E$ が同じ場合、曲げ剛性自体は増えない。）

(5) せん断力についても本質は同じ

Euler--Bernoulli 梁では $M=EI\,w''$、$V=dM/dx=EI\,w'''$ である。 上の仮定の下では合成断面の $I$ は同じなので、同一の変形（同一の $w(x)$）に対応する $V$ も同じである。 従って、材料の許容せん断応力が同じで「界面破壊」を考えない理想化では、接着の有無だけで「同一変形でより大きい $V$」が可能になるとは言えない。

大問2：移動荷重・移動質量による橋梁の鉛直振動

(1-a) 移動荷重モデル：$T$、$U$、$Q$ の導出

単純支持梁（長さ $L$）のたわみを 1 モード $$w(x,t)=q(t)\phi(x),\qquad \phi(x)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$ で近似する。 梁の運動エネルギーは $$T=\frac12\int_0^L m_0 \dot w^2\,dx =\frac12 m_0 \dot q^{\,2}\int_0^L \phi^2\,dx =\frac{m_0L}{4}\dot q^{\,2}.$$ ひずみエネルギーは $$U=\frac12\int_0^L EI (w'')^2\,dx =\frac12 EI q^2\left(\frac{\pi^4}{L^4}\right)\int_0^L \phi^2\,dx =\frac{EI\pi^4}{4L^3}q^2.$$ 荷重 $f(x,t)=Mg\,\delta(x-vt)$ に対し、仮想仕事 $\delta W=\int f\,\delta w\,dx=Q\,\delta q$ より $$Q(t)=Mg\,\phi(vt)=Mg\sin\!\left(\frac{\pi vt}{L}\right)\qquad (0\le t\le L/v).$$

(1-b) 運動方程式と固有角振動数

$\frac{d}{dt}\bigl(\partial T/\partial \dot q\bigr)-\partial T/\partial q+\partial U/\partial q=Q$ から $$\underbrace{\left(\frac{m_0L}{2}\right)}_{=:M_{\text{eff}}}\ddot q +\underbrace{\left(\frac{EI\pi^4}{2L^3}\right)}_{=:K_{\text{eff}}}q =Mg\sin\!\left(\frac{\pi vt}{L}\right).$$ 従って 1 次モードの固有角振動数は $$\omega_1=\sqrt{\frac{K_{\text{eff}}}{M_{\text{eff}}}} =\pi^2\sqrt{\frac{EI}{m_0L^4}}.$$

(1-c) 荷重列が固有振動数で励起される速度条件

荷重列の到来周期は $\Delta t=d/v$ であり、到来周波数は $f=v/d$。 よって 1 次固有振動数 $f_1=\omega_1/(2\pi)$ と一致する条件は $$\frac{v}{d}= \frac{\omega_1}{2\pi} \quad\Longleftrightarrow\quad v=\frac{d}{2\pi}\omega_1 =\frac{\pi d}{2}\sqrt{\frac{EI}{m_0L^4}}.$$ （一般に高調波も含め $\,v/d\simeq n f_1\,$ のとき共振的に増幅し得る。）

(2-a) 移動質量モデル：追加の運動エネルギー

移動質量の位置は $x=vt$ であり、その鉛直速度は「位置も動く」ので $$\frac{d}{dt}w(vt,t)=\dot q\,s+\beta q\,c, \qquad s=\sin(\beta t),\ c=\cos(\beta t),\ \beta=\frac{\pi v}{L}.$$ 従って全運動エネルギーは $$T=\frac{m_0L}{4}\dot q^{\,2}+\frac12 M(\dot q\,s+\beta q\,c)^2.$$ また重力は一般化力 $Q=Mg\,s$ と見なせる。

(2-b) 運動方程式（$q$ の 1 自由度近似）

上式から計算すると $$\left(\frac{m_0L}{2}+Ms^2\right)\ddot q +2M\beta sc\,\dot q +\left(\frac{EI\pi^4}{2L^3}-M\beta^2 s^2\right)q =Mg\,s.$$ 係数が $s(t)$、$c(t)$ を通じて時間変化するため、移動質量は「単なる外力」ではなく動的相互作用（慣性結合）を導入する。

(2-c) 移動荷重との違いと影響（要点）

移動荷重は右辺の強制力 $Q(t)$ だけで梁を駆動するのに対し、移動質量では

• 有効質量が $M_{\text{eff}}+Ms^2$ のように時間変化する（固有特性が変動する）、
• $2M\beta sc\,\dot q$ のような速度結合項が現れる（見かけの減衰・励起）、
• $-M\beta^2 s^2 q$ のような剛性項の変調が入る、

ため、共振条件や応答振幅が移動荷重モデルよりも大きくずれたり増幅したりし得る（重い車両・高速ほど差が出る）。