東大 工学系研究科 社会基盤学専攻 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全10問）

質点 $m_v$、ばね定数 $k_v$、減衰係数 $c_v$ の 1 自由度系で、変位 $x(t)$ は「土を積む前の静止状態」を $x=0$ として測る（与えられた設定のとおり）とする。 固有角振動数、減衰比、減衰固有角振動数を $$\omega_n=\sqrt{\frac{k_v}{m_v}}, \qquad \zeta=\frac{c_v}{2\sqrt{m_v k_v}}, \qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$ とおく（$\zeta<1$）。

(1) 外力 $f(t)$ に対する運動方程式

つり合い位置 $x=0$ まわりの運動方程式は $$m_v\ddot x+c_v\dot x+k_v x=f(t)$$ である。

(2) ステップ荷重 $f(t)=m_s g\,H(t)$ の一般解

$t\ge 0$ では $f(t)=f_0:=m_s g$ が一定なので、特解は $x_p=f_0/k_v$。 同次解は $$x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr)$$ であり、したがって $$x(t)=\frac{f_0}{k_v}+e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr)$$ となる（$A,B$ は初期条件で決まる）。

(3) 減衰無視の極値（$x(0)=\dot x(0)=0$）

$\zeta\simeq 0$ とすると $$\ddot x+\omega_n^2 x=\frac{f_0}{m_v}, \qquad x(0)=\dot x(0)=0$$ より $$x(t)=\frac{f_0}{k_v}\bigl(1-\cos(\omega_n t)\bigr).$$ よって $$x_{\min}=0, \qquad x_{\max}=\frac{2f_0}{k_v}\quad (t=\pi/\omega_n)$$ であり、$x(t)$ は $0$ と $2f_0/k_v$ の間を振動する（初期半周期で最大）。

(4) 凹凸路面 $y(t)$ を受ける基礎加振

路面（基礎）変位を $y(t)$ とすると、ばね・ダンパの相対変形が $x-y$ なので $$m_v\ddot x+c_v(\dot x-\dot y)+k_v(x-y)=f(t)$$ が運動方程式である。右辺に移せば $$m_v\ddot x+c_v\dot x+k_v x=f(t)+c_v\dot y+k_v y$$ と見なせる。

(4) の特解（$y(t)=Y\sin(\omega t)$）

$t\ge 0$ で $f(t)=f_0$ とし、調和特解を $x_p(t)=f_0/k_v+\Re(Xe^{i\omega t})$ とおくと $$X=\frac{k_v+i\omega c_v}{k_v-m_v\omega^2+i\omega c_v}\,Y.$$ （従って、振幅比と位相は上式から直ちに得られる。）

(5) $t=\pi/\omega_n$ で $x(t)$ を抑えるための条件（$\zeta\simeq 0$）

減衰無視で、$y(t)=Y\sin(\omega t)$ が $t=0$ から同時に作用するとき $$\ddot x+\omega_n^2 x=\frac{f_0}{m_v}+\omega_n^2 Y\sin(\omega t), \qquad x(0)=\dot x(0)=0$$ より（$\omega\neq\omega_n$ として） $$x(t)=\frac{f_0}{k_v}\bigl(1-\cos(\omega_n t)\bigr) +\frac{\omega_n^2 Y}{\omega_n^2-\omega^2}\left( \sin(\omega t)-\frac{\omega}{\omega_n}\sin(\omega_n t) \right).$$ 従って $t=\pi/\omega_n$ では $\sin(\omega_n t)=0$ なので $$x\!\left(\frac{\pi}{\omega_n}\right) = \frac{2f_0}{k_v} +\frac{Y}{1-(\omega/\omega_n)^2}\sin\!\left(\pi\frac{\omega}{\omega_n}\right).$$ この値を (3) の最大値 $2f_0/k_v$ より小さくするには $$\boxed{\displaystyle \frac{Y}{1-(\omega/\omega_n)^2}\sin\!\left(\pi\frac{\omega}{\omega_n}\right)<0}$$ が必要十分である（$Y>0$ なら $\sin(\pi\omega/\omega_n)$ と $1-(\omega/\omega_n)^2$ の符号が逆になること）。