東大 工学系研究科 社会基盤学専攻 専門科目 2021年度 院試 過去問 解答例・解説

大問1：Euler--Bernoulli 梁とせん断補正

Euler--Bernoulli 梁では、断面は変形後も平面を保ち、梁軸に直交するという仮定を置く。微小変形・線形弾性を前提にすると、横せん断変形は無視され、たわみ $u_y(x)$ に対して $$u_x(x,y)=-y\frac{du_y}{dx}$$ である。したがって $$\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x} =-y\frac{d^2u_y}{dx^2},\qquad \sigma_{xx}=-Ey\frac{d^2u_y}{dx^2}.$$ 断面二次モーメントを $I=th^3/12$ とすれば $$M=\int_A \sigma_{xx}y\,dA=-EI\frac{d^2u_y}{dx^2}.$$ 分布荷重を $q(x)$ とする符号規約では $$\frac{d^2M}{dx^2}=q(x) \quad\Longrightarrow\quad EI\frac{d^4u_y}{dx^4}=-q(x)$$ であり、集中荷重のみの区間では右辺は 0、荷重点や支点条件にせん断力・曲げモーメントが現れる。

せん断ひずみは $$2\varepsilon_{xy} =\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} =-\frac{du_y}{dx}+\frac{du_y}{dx}=0$$ となる。これが「断面がたわみ曲線に直交する」という仮定の数学的な帰結である。

一方、断面内の静的つり合いでは、軸方向について $$\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}=0$$ が必要であり、鉛直方向については断面せん断力 $$V=t\int_{-h/2}^{h/2}\sigma_{xy}\,dy$$ が外力とつり合う必要がある。上下表面は自由面なので $$\sigma_{xy}\left(x,\pm\frac h2\right)=0$$ である。Euler--Bernoulli 梁はこの表面条件だけは満たすが、$M$ が $x$ 方向に変化する区間では $\partial \sigma_{xx}/\partial x\ne0$ なので、$\sigma_{xy}=0$ のままでは局所つり合いと断面せん断力を満たせない。

一般化した近似 $$u_x(x,y)=-f(y)\frac{du_y}{dx}+g(y)$$ を用いると $$\varepsilon_{xx}=-f(y)\frac{d^2u_y}{dx^2},\qquad \sigma_{xx}=-E f(y)\frac{d^2u_y}{dx^2},$$ $$2\varepsilon_{xy}=\{1-f'(y)\}\frac{du_y}{dx}+g'(y),\qquad \sigma_{xy}=G\left[\{1-f'(y)\}\frac{du_y}{dx}+g'(y)\right].$$ $f$ に偶関数を用いると、曲げによる $\sigma_{xx}$ が上下で同符号となり、純曲げなのに断面軸力 $$N=t\int_{-h/2}^{h/2}\sigma_{xx}\,dy$$ が一般に 0 にならない。曲げでは上縁と下縁が引張・圧縮で反対符号になる必要があるため、$f$ は奇関数でなければならない。

内部仮想仕事から、一定断面・一定材料では有効曲げ剛性と有効せん断剛性を $$B=Et\int_{-h/2}^{h/2}f(y)^2\,dy,\qquad C=Gt\int_{-h/2}^{h/2}\{1-f'(y)\}^2\,dy$$ とおくと $$B\frac{d^4u_y}{dx^4}-C\frac{d^2u_y}{dx^2}=-q(x)$$ を得る。ただし $g(y)$ は $x$ に依存しないため、内部の支配式ではなく端部の自然境界条件とせん断応力分布に効く。

候補の評価は次の通りである。

1. $f=y,\ g=0$：通常の Euler--Bernoulli 梁であり、たわみの曲げ剛性は正しいが、せん断応力が 0 となる矛盾を残す。
2. $f=y,\ g=Py/(Ght)$：一様な $\sigma_{xy}=P/(ht)$ を与え、断面せん断力は $P$ になる。しかし上下自由面で $\sigma_{xy}\ne0$ となる。
3. $f=y,\ g=P\sin(\pi y/h)/(2Gt)$：上下自由面で $\sigma_{xy}=0$ となり、積分せん断力も $P$ になる。応力形状は滑らかだが、長方形断面の局所つり合いには厳密には一致しない。
4. $f=y,\ g=\dfrac{P}{Ght}\dfrac{y}{2}\left(3-\dfrac{4y^2}{h^2}\right)$：$\sigma_{xy}=\dfrac{P}{ht}\left(\dfrac32-\dfrac{6y^2}{h^2}\right)$ となる。これは上下自由面で 0、断面積分で $P$、さらに $I=th^3/12$ を用いれば $\partial\sigma_{xx}/\partial x+\partial\sigma_{xy}/\partial y=0$ も満たす。

以上より、たわみ精度は全候補で $f=y$ のため同程度だが、せん断応力の整合性は (d) が最も良い。

大問2：二自由度系と設計案の比較

一層目・二層目の質量を $0.9m,0.1m$、層剛性をそれぞれ $k,k/2$ とみなすと $$\boldsymbol M =m\begin{bmatrix}0.9&0\\0&0.1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol K =k\begin{bmatrix}1.5&-0.5\\-0.5&0.5\end{bmatrix}.$$ $\boldsymbol K\boldsymbol\phi=\lambda (k/m)\boldsymbol M\boldsymbol\phi$ とおくと $$9\lambda^2-60\lambda+50=0$$ なので $$\lambda_1=\frac{10-5\sqrt2}{3}=0.976,\qquad \lambda_2=\frac{10+5\sqrt2}{3}=5.690.$$ $x_1=1$ で正規化すると $$\boldsymbol\phi_1= \begin{bmatrix}1\\3(\sqrt2-1)\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\phi_2= \begin{bmatrix}1\\-3(1+\sqrt2)\end{bmatrix}.$$ 一次は同相、二次は二層目が逆相で大きく動くモードである。

単自由度近似では相対変位 $x$ が $$\ddot x+2\xi\omega_n\dot x+\omega_n^2x=-a_g(t)$$ を満たす。入力成分 $A\sin\Omega t$ に対する定常相対変位の振幅は $$X(A,\Omega)= \frac{A}{\sqrt{(\omega_n^2-\Omega^2)^2+(2\xi\omega_n\Omega)^2}},$$ 絶対加速度の複素振幅は $$A\left(1+\frac{\Omega^2}{\omega_n^2-\Omega^2+i\,2\xi\omega_n\Omega}\right)$$ で評価できる。三つの正弦波の位相を重ね合わせれば、各設計案の定常応答が得られる。

$m=1000\,\mathrm{kg}$、元の周期 $T=1.0\,\mathrm{s}$ として数値評価すると、代表的な最大値は次のようになる。 $$\begin{array}{c|c|c|c} \text{設計} & T_n\ \mathrm{(s)} & \max |x|\ \mathrm{(m)} & \max |\ddot x+a_g|\ \mathrm{(m/s^2)}\\ \hline \text{元設計} & 1.00 & 0.539 & 21.3\\ \text{概念1} & 0.707 & 0.134 & 10.6\\ \text{概念2} & 1.00 & 0.286 & 11.4\\ \text{概念3} & 2.00 & 1.05 & 10.4 \end{array}$$ 概念1は剛性増加、すなわち耐震補強である。元の共振成分から固有周期を外すため、変位・加速度の双方を下げる。概念2は制振であり、共振成分を減衰で抑える。概念3は免震であり、加速度低減には有効だが、長周期化により変位要求が大きくなる。

「変位と加速度のどちらも元設計比で小さくする」ことを目的に、$0.7\le T_n\le2.0$、$2.5\%\le\xi\le5\%$ で探索すると、$\xi=5\%$、$T_n\simeq0.80\,\mathrm{s}$ がバランスのよい選択である。このとき $$\max|x|\simeq0.081\,\mathrm{m},\qquad \max|\ddot x+a_g|\simeq4.99\,\mathrm{m/s^2}$$ となり、元設計に対して変位は約 15%、加速度は約 23% まで低下する。加速度のみをさらに重視するなら $T_n\simeq1.4\,\mathrm{s}$ も候補になるが、変位が増えるため、建築限界や設備クリアランスを同時に満たす設計としては $T_n\simeq0.80\,\mathrm{s}$ が扱いやすい。