東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2025年度 院試 解答例・解説

方針

問2は「同じ変位」と「軸力のつり合い」を同時に使う問題である。温度ひずみを 引く形で機械ひずみを作ると，外力と加熱が重なっても符号が崩れにくい。

検算

問2(2)では外力がないため，断面積が等しい2本の応力和はゼロになる。答えの $-160+160=0$ はこの条件を満たす。問2(3)では棒Bの応力がゼロになるが，これは 左向き外力による機械的な圧縮増分 $-160\ \mathrm{MPa}$ が，熱拘束で生じた $+160\ \mathrm{MPa}$ をちょうど打ち消すためである。

典型ミス

公称応力を変形後断面積で割ると真応力になり，本問の定義から外れる。はりでは $I=a^4/12$ を忘れると，応力もたわみも12倍ずれる。主せん断応力は $(\sigma_1-\sigma_2)/2$ であり，主応力の大きい方そのものではない。

試験で書くべきポイント

はりのたわみは最終式だけでなく，反力が各 $P$ であること，中央で傾きがゼロで あることを書くと部分点を取りやすい。棒の熱応力は，適合条件と力のつり合いの 2式を明示するのが最短で確実である。

方針

加速度センサは基礎励振の標準形である。絶対変位 $x$ で立式してから 相対変位 $z=x-y$ に移ると，右辺に基礎加速度 $-m\ddot{y}$ が現れる。

検算

$\Omega\to 0$ で相対変位の振幅比はほぼ $\Omega^2/\omega_n^2$ となり小さい。 これは低周波でおもりが測定対象物にほぼ追従することを意味し，物理的に妥当である。

典型ミス

問3の楕円は $\Delta\boldsymbol{X}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{K}\Delta\boldsymbol{X}=1$ ではなく， $\|\boldsymbol{K}\Delta\boldsymbol{X}\|=1$ から $\Delta\boldsymbol{X}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{K}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{K}\Delta\boldsymbol{X}=1$ である。 半軸長は剛性の固有値そのものではなく，その逆数になる。

試験で書くべきポイント

斜めばねの剛性は $k\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^{\mathsf{T}}$ と書くと一行で導ける。 この形を示せば，対角項と非対角項の符号や三角関数を暗記に頼らず決められる。

方針

熱力学の選択問題は，名前を覚えるより保存則から戻す方が確実である。閉じた系・ 開いた系・孤立系は「物質」と「エネルギー」を分けて判定する。理想気体のエントロピー式は $Tds=du+p\,dv$ と $Tds=dh-v\,dp$ の2本から作る。

検算

自由膨張では断熱かつ外部仕事なしなので，理想気体なら温度が変わらない。体積が2倍で 温度一定なら $pV=RT$ から圧力は半分になる。エントロピー変化 $R\ln2>0$ は不可逆膨張 として正であり，第二法則とも整合する。

典型ミス

オットーサイクルの熱効率で $c_p$ を使うのは誤りである。加熱・冷却はいずれも等積なので 熱量は $c_v\Delta T$ で評価する。冷凍サイクルでは膨張弁の前後を等エントロピーとしない。 絞り過程は通常 $h_3=h_4$ の等エンタルピー過程として扱う。

試験で書くべきポイント

選択肢だけでなく，根拠となる不変量を横に書くと見直しが容易になる。特に $pV^\kappa$，$TV^{\kappa-1}$，$\Delta s=c_v\ln(T_2/T_1)+R\ln(v_2/v_1)$ は 複数の小問にまたがって使える。

方針

問1はエネルギー保存と圧力管の読みを分けて考える。全圧管は静圧と動圧の和を水頭で 示し，静圧管は静圧だけを示す。損失がなければ全圧は一定，損失があれば下流側で 全圧が下がる。

検算

条件Cでは下流の動圧水頭が上流の $1/4$ になる。動圧は $u^2$ に比例するので速度は $1/2$ 倍である。流量一定なら断面積は2倍になり，答え $S_2=2S_1$ は連続の式と整合する。

典型ミス

静圧管と全圧管の水位差 $h_a-h_b$ は負である。符号を落として $u_2=2u_1$ とすると，断面積比が逆になる。液膜問題では重力の向きが $y$ 軸と逆なので， 方程式を $0=\mu v''-\rho g$ と置くのが符号管理の要点である。

試験で書くべきポイント

液膜では境界条件を2つ書くことが重要である。自由表面ではせん断応力ゼロ， ベルト表面ではすべりなしで $v(0)=V_0$ とする。この2条件を書けば速度分布， 平均速度，正の流れの条件まで一貫して導ける。