東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

問1

公称応力と公称ひずみは初期断面積と初期標点間距離を基準に定義するので， $$\sigma_{\mathrm{n}}=\frac{P}{A_0},\qquad \varepsilon_{\mathrm{n}}=\frac{L-L_0}{L_0}$$ である。弾性比例域ではフックの法則が成り立ち，比例係数は縦弾性係数であるから， $$E=\frac{\sigma_{\mathrm{n}}}{\varepsilon_{\mathrm{n}}} =\frac{P L_0}{A_0(L-L_0)}$$ である。除荷線は弾性域の直線と平行な直線で，図の選択肢では破線1である。 除荷後に残るひずみは永久ひずみである。

平面応力の主応力は $$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$ より， $$\frac{80+(-40)}{2}=20,\qquad \sqrt{60^2+80^2}=100.$$ したがって $$\sigma_1=120\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=-80\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{\max}=100\ \mathrm{MPa}.$$

問2

2本の棒は同じ変位 $\delta$ をもつ。引張を正として， $$\sigma_A=E_A\left(\frac{\delta}{L}-\alpha_A\Delta T_A\right),\qquad \sigma_B=E_B\left(\frac{\delta}{L}-\alpha_B\Delta T_B\right)$$ を用いる。

(1) 外力 $P=3.0\ \mathrm{kN}$ のときは温度変化がない。断面積を $A=10\ \mathrm{mm^2}$ とし， $$\frac{P}{A}=\sigma_A+\sigma_B =\left(E_A+E_B\right)\frac{\delta}{L}.$$ よって $$\delta=\frac{3000}{(10000+20000)}=0.10\ \mathrm{mm},$$ $$\sigma_A=100\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_B=200\ \mathrm{MPa}.$$

(2) 外力がなく，棒Aだけ $\Delta T=100\ \mathrm{K}$ 加熱される。力のつり合いより $\sigma_A+\sigma_B=0$，適合条件より $$\frac{\sigma_A}{E_A}+\alpha_A\Delta T =\frac{\sigma_B}{E_B}.$$ したがって $$\frac{\sigma_A}{100000}+24\times 10^{-6}\cdot 100 =-\frac{\sigma_A}{200000}$$ より $$\sigma_A=-160\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_B=160\ \mathrm{MPa},\qquad \delta=L\frac{\sigma_B}{E_B}=0.080\ \mathrm{mm}.$$

(3) 加熱状態のまま左向き $Q=2.4\ \mathrm{kN}$ を加えると $$\sigma_A+\sigma_B=-\frac{2400}{10}=-240\ \mathrm{MPa},$$ $$\frac{\sigma_A}{100000}+0.0024=\frac{\sigma_B}{200000}.$$ これを解いて $$\sigma_A=-240\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_B=0\ \mathrm{MPa}.$$

問3

対称性から支点反力は各 $P$ である。曲げモーメントは $$M(x)= \begin{cases} Px, & 0\le x\le l,\\ Pl, & l\le x\le 3l. \end{cases}$$ 正方形断面の断面二次モーメントは $I=a^4/12$ である。中央下面の応力は $$\sigma=\frac{M(a/2)}{I} =\frac{Pl(a/2)}{a^4/12} =\frac{6Pl}{a^3},$$ したがって $$\varepsilon=\frac{6Pl}{Ea^3}.$$

たわみは対称性を用いて半分だけ積分する。$0\le x\le l$ で $EIw''=Px$， $l\le x\le 2l$ で $EIw''=Pl$ とし，$w(0)=0$，中央で $w'(2l)=0$， 接続条件を課すと中央の下向きたわみは $$w_F=\frac{11Pl^3}{6EI} =\frac{22Pl^3}{Ea^4}.$$

数値問題では $$\varepsilon=\frac{6Pl}{Ea^3} =\frac{6\cdot 125\cdot 20}{E\cdot 5^3} =\frac{120}{E}$$ であり，$\varepsilon=0.0006$ から $$E=2.0\times 10^5\ \mathrm{MPa}=200\ \mathrm{GPa}.$$ $P=500\ \mathrm{N}$ のときの中央下面応力は $$\sigma_f=\frac{6\cdot 500\cdot 20}{5^3} =480\ \mathrm{MPa}.$$