東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2023年度 院試 解答例・解説

方針

問1はモールの応力円の用語確認である。問2は不静定はりなので，反力を未知の集中荷重としてたわみ適合を課す。問3は熱膨張の自由変位，軸弾性変位，丸軸のねじり剛性を直列・幾何拘束として組み合わせる。

検算

問2で $R_A+R_B=ql$ が成り立つ。さらに $R_B=3ql/8$ は全荷重の半分より小さく，固定端がモーメントも負担するはりとして自然である。問3の $\phi$ は $GJ\to\infty$ で0に近づき，丸軸が剛体の極限と一致する。

典型ミス

正方形断面の断面二次モーメントを $a^3/12$ とする誤りが多い。長さの4乗で $a^4/12$ である。熱応力では，引張を正とする指定があるため，拘束熱膨張は圧縮で負号を付ける。

試験で書くべきポイント

不静定はりは，力のつり合いだけでは $R_A,R_B,M_A$ が決まらない。B点変位が0という適合条件を答案に明記することが，計算結果以上に重要である。

方針

基礎励振は絶対変位 $x$ と基礎変位 $y$ の差でばね・ダンパ力を書く。棒の振動は静的平衡点まわりなので，重力はつり合いに吸収され，ばねの変位だけが復元力に残る。

検算

伝達率は $\eta\to0$ で1に近づく。ゆっくり基礎が動けばテーブルも一緒に動くためである。棒の固有値は $\lambda_1\lambda_2=9$，$\lambda_1+\lambda_2=7$ を満たす。行列式の計算後にこの関係を見ると展開ミスを確認できる。

典型ミス

除振台で $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=cy+ky$ と書き，右辺の速度項を落とす誤りが多い。ダンパは相対速度に比例するので $c\dot y$ が必ず現れる。棒の問題では，回転による左端変位と右端変位の符号が逆になる。

試験で書くべきポイント

固有振動の図示問題では，低次モードは重心並進が大きく，高次モードは回転成分が相対的に目立つ，という振幅比の符号と大きさを反映して描く。数式の振幅比を図に対応させる一言があると答案として強い。

方針

選択肢問題でも，まず物理量を通常の符号規約で計算し，最後に選択肢の値へ対応させる。ランキンサイクルは，タービン出口の乾き度をエントロピーから求め，そこからエンタルピー，仕事，効率へ進む。

検算

ポリトロープ圧縮では体積が4分の1になり圧力が8倍になるため，$p_1=0.5\,\mathrm{MPa}$ は妥当である。ランキンサイクルの乾き度 $0.789$ は0から1の間にあり，タービン出口が湿り蒸気である条件と一致する。

典型ミス

圧力と体積の積は $1\,\mathrm{kPa\,m^3}=1\,\mathrm{kJ}$ で換算する。$2\,\mathrm{MPa}\times0.5\,\mathrm{m^3/kg}=1000\,\mathrm{kJ/kg}$ を $1\,\mathrm{kJ/kg}$ としない。冷却・圧縮などでは，系がした仕事か系が受けた仕事かを問題文に合わせる。

試験で書くべきポイント

ランキンサイクルでは「ポンプ動力を無視」とあるため $h_2\simeq h_1$ と書いてから数値計算する。これを書かずに $q_{\mathrm{in}}=h_3-h_f$ とだけ置くと，状態番号との対応が不明瞭になる。

方針

津波は浅水波の速度 $u=\sqrt{gD}$ を導く問題である。質量保存で水位上昇と速度差を結び，運動量保存で静水圧差と運動量変化を結びつける。すき間流れは低レイノルズ数の潤滑近似であり，圧力流れとクエット流れを重ね合わせる。

検算

津波速度は水深の平方根に比例する。水深が $4000\,\mathrm m$ から $40\,\mathrm m$ へ100分の1になると，速度は10分の1になる。$720\,\mathrm{km/h}$ と $72\,\mathrm{km/h}$ はこの関係を満たす。

典型ミス

静水圧差を $\rho g dD$ のように圧力だけで扱うと，深さ方向積分による $D$ が抜ける。潤滑問題では，圧力勾配の符号が区間1と区間2で逆になる。ここを同符号にすると中間圧力が外圧より低いという不自然な結果になる。

試験で書くべきポイント

段付きすき間の揚力はせん断力ではなく圧力分布の積分で求める。問題文が「圧力差がないので鉛直力を受けない」と述べる平行すき間との対比を答案に出すと，段差によって圧力が生じる理由が明確になる。