東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

問1 平面応力状態は，面内の垂直応力成分とせん断応力成分で表される。任意の傾斜面に作用する垂直応力とせん断応力は面の角度で変化し，せん断応力が0となる面を主面，その面の垂直応力を主応力という。せん断応力が最大となる面を最大せん断応力面と呼び，最大せん断応力は $$\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$$ である。

問題で与えられた2つの主応力が $0\,\mathrm{MPa}$ と $100\,\mathrm{MPa}$ の場合， $$\sigma_1=100\,\mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=0\,\mathrm{MPa}.$$ モールの応力円の半径は $$R=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=50\,\mathrm{MPa}.$$

問2 固定端A・単純支持端Bをもつ長さ $l$ のはりに等分布荷重 $q$ が作用する。B点の反力を $R_B$ とし，B点をいったん外した片持ちはりとしてたわみの適合条件を使う。

等分布荷重だけによる自由端Bのたわみは $$\delta_q=\frac{ql^4}{8EI}.$$ B点反力による逆向きたわみは $$\delta_{R_B}=\frac{R_Bl^3}{3EI}.$$ 単純支持端ではたわみが0なので $$\frac{ql^4}{8EI}-\frac{R_Bl^3}{3EI}=0 \quad\Longrightarrow\quad R_B=\frac{3}{8}ql.$$ 力のつり合いから $$R_A=ql-R_B=\frac{5}{8}ql.$$ 固定端反モーメントは，Aまわりのモーメントつり合いより $$M_A=\frac{ql^2}{2}-R_Bl=\frac{1}{8}ql^2.$$ 断面が一辺 $a$ の正方形なら $$I=\frac{a^4}{12},\qquad c=\frac{a}{2}.$$ 固定端Aの最大曲げ引張応力は $$\sigma_{\max}=\frac{M_Ac}{I} =\frac{(ql^2/8)(a/2)}{a^4/12} =\frac{3ql^2}{4a^3}.$$ 下向き最大変位位置は，固定端から距離 $x$ の傾きが0となる点である。曲げモーメントを積分して $$EI\,v'(x)=\frac{R_Ax^2}{2}-\frac{qx^3}{6}-M_Ax.$$ $x\ne0$ として $v'(x)=0$ を解くと $$-8\left(\frac{x}{l}\right)^2+15\left(\frac{x}{l}\right)-6=0.$$ 区間内の解は $$x=\frac{15-\sqrt{33}}{16}l.$$

問3 丸軸CFが剛体で剛体棒BDが回転しない場合，棒AB, DEの熱膨張は拘束される。したがって棒ABの応力は $$\sigma_{AB}=-E\alpha\Delta T$$ であり，圧縮を負に取る。

丸軸CFだけを弾性体としてトルク $T$ を負荷する場合，直径 $d$ の円形断面の極断面二次モーメントは $$J=\frac{\pi d^4}{32}.$$ 最大せん断応力と上端回転角は $$\tau_{\max}=\frac{T(d/2)}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}, \qquad \phi=\frac{TL_0}{GJ}=\frac{32TL_0}{\pi Gd^4}.$$

ピンを抜いて棒を自由に熱膨張させ，さらに圧縮荷重 $P$ を加えると，棒端変位は $$u=\alpha L\Delta T-\frac{PL}{EA}.$$ 丸軸CFが弾性でピン接合されている場合，剛体棒BDの回転角を $\phi$，ピン間距離を $l_s$ とすると，B点またはD点の幾何学的変位の大きさは $l_s\phi/2$ である。棒から剛体棒に作用する反力の大きさは $$P=\frac{EA}{L}\left(\alpha L\Delta T-\frac{l_s\phi}{2}\right)$$ で表せる。2つの反力は丸軸に偶力 $$T=Pl_s$$ を与えるので， $$Pl_s=\frac{GJ}{L_0}\phi.$$ これを適合条件へ代入すると $$\phi= \frac{\alpha L\Delta T} {\,l_s/2+GJL/(EA L_0l_s)\,}.$$