東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2021年度 院試 解答例・解説

方針

問2は熱ひずみと弾性ひずみを同じ長さ基準で足し合わせる。丸棒は長さ $L-d$ だが，問題の近似指示に従い弾性ひずみは $L$ を基準に扱う。

検算

問2(3)で $\Delta t_3=\Delta t_2=d/(\alpha L)$ とすると，$P_1=0$ になる。接触直後に内力がゼロから始まるので自然な結果である。

典型ミス

外力 $P$ を加えた後の式で，円筒と丸棒の力の和を $0$ のままにしないこと。剛体板全体のつり合いは $P_1+P_2=P$ である。

試験で書くべきポイント

問3は符号規約が答案の読みやすさを左右する。ここでは図の $x$ 方向に沿って $M(x)=P(4L/3-x)-R(L-x)$ と定義し，境界条件から $R$ を決めた。

方針

問2は自由端をもつ3質点2ばね系なので，ゼロ固有振動数が必ず1つ現れる。これは全質点が同じだけ動くとばねが伸びないためである。

検算

$K(1,1,1)^T=0$ なので $\omega_0=0$ は正しい。また $K(1,0,-1)^T=(1,0,-1)^T$，$K(1,-2,1)^T=3(1,-2,1)^T$ となり，固有値 $1,3$ も確認できる。

典型ミス

鉛直振動で変位原点を自然長に取る場合，重力項は残る。静的つり合い位置を原点に取った場合だけ，重力項が消える。

試験で書くべきポイント

モード図では数値だけでなく位相を示すこと。$\omega_2$ では中央質点だけ逆向きで振幅が2倍である。

方針

問1は数値問題が多いが，すべて第一法則と状態量の定義で処理できる。温度は必ず K に直してカルノー効率や成績係数へ代入する。

検算

問1(7)では全体系のエントロピー変化が正になる。高温側から低温側への有限温度差伝熱は不可逆なので，全体系のエントロピー生成が正になることは妥当である。

典型ミス

ディーゼルサイクルの熱供給は等積ではなく等圧でモデル化する。等積加熱はオットーサイクルである。

試験で書くべきポイント

ランキンサイクルではタービン仕事とポンプ仕事を差し引いた正味仕事を，ボイラでの加熱量で割る。$h_3-h_4$ だけで効率を書かないこと。

方針

問1はベルヌーイ，連続の式，運動量保存の3本で解く。バケットの力は，噴流が上向きから下向きへ反転するため，運動量変化が $2\rho Av^2$ になる。

検算

$m=M$ を (5) に入れると $h_m=0$ になり，(3)の条件と一致する。$m<M$ なら $h_m>0$ で，軽いバケットほど高く浮く。

典型ミス

抗力係数の式で投影面積は球の表面積ではなく $\pi d^2/4$ である。ここを $4\pi r^2$ にすると数値が4倍ずれる。

試験で書くべきポイント

図から読む値を使う場合は，$C_L\simeq0.40$，$C_D\simeq0.60$ のように読み取り値を明記する。2021年度のOCRでは図4周辺の数値が崩れているため，ページ画像から読み取った。

方針

問1(1)は回転体を直接積分しても解けるが，回転軸が円板と交わらない条件 $b>2a$ があるため，パップスの定理が最短である。

検算

$A^n$ に $n=1$ を代入すると元の $A$ に戻る。また $n=0$ では単位行列になるため，式の形は正しい。

典型ミス

複素フーリエ係数の定義では $1/T$ が付く。周期 $T=2$ なので係数は積分値の半分である。ここを落とすとすべて2倍になる。

試験で書くべきポイント

問4では $p(x)$ が偶関数なので係数は実数になる。虚部がすべて0であることを先に述べると，計算ミスを見つけやすい。