東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1は応力--ひずみ線図と曲げ応力の基礎である。原点から比例限度まではフックの法則が成り立つ。最大応力は引張強さである。図2の曲げでは，点 a 側が引張側であり，中立面上の点 b の軸方向応力はゼロである。点 a の引張応力が降伏応力を超えると表面から塑性変形が生じ，除荷後には残留応力が残る。 $$\boxed{①\ \text{フック}},\quad \boxed{②\ \text{引張強さ}},\quad \boxed{③\ a},\quad \boxed{④\ \text{イ}},$$ $$\boxed{⑤\ \text{塑性}},\qquad \boxed{⑥\ \text{残留}}.$$

問2では，円筒を部材1，丸棒を部材2とする。円筒の断面積は $2A$，丸棒の断面積は $A$，両者の縦弾性係数は $E$ である。引張力を正として，円筒の力を $P_1$，丸棒の力を $P_2$ とする。

(1) 丸棒だけを加熱すると，接触条件は丸棒の自由熱伸びが初期すきま $d$ に等しいことである。 $$2\alpha \Delta t_1 L=d$$ より $$\boxed{⑦\ \Delta t_1=\frac{d}{2\alpha L}}.$$

(2) 両方を同じだけ加熱して接触直前であれば， $$\lambda_1=\alpha\Delta t_2L,\qquad \lambda_2=2\alpha\Delta t_2L.$$ 丸棒上端が剛体板に接触する条件は，両者の伸びの差が $d$ になることであるから $$\boxed{⑧\ \lambda_2=\lambda_1+d}, \qquad \boxed{⑨\ \Delta t_2=\frac{d}{\alpha L}}.$$

(3) $\Delta t_3>\Delta t_2$ では丸棒が剛体板に接触し，剛体板に外力がなければ $$\boxed{⑩\ P_1=-P_2}$$ である。適合条件は $$\alpha\Delta t_3L+\frac{P_1L}{2AE} = 2\alpha\Delta t_3L+\frac{P_2L}{AE}-d.$$ $P_2=-P_1$ を代入して $$\boxed{⑪\ P_1=\frac{2AE}{3}\left(\alpha\Delta t_3-\frac{d}{L}\right)}.$$

(4) 剛体板に引張荷重 $P$ が作用すると，力のつり合いは $$P_1+P_2=P$$ である。同じ適合条件に $P_2=P-P_1$ を代入すると $$\boxed{P_1= \frac{2AE}{3}\left(\alpha\Delta t_3-\frac{d}{L}\right)+\frac{2P}{3}}.$$ したがって $$\boxed{⑫\ \frac{2P}{3}}.$$

(5) 丸棒の力がゼロになる限界では $P_2=0$，すなわち $P_1=P_c$ である。適合条件から $$\alpha\Delta t_3L+\frac{P_cL}{2AE} =2\alpha\Delta t_3L-d$$ であるから $$\boxed{⑬\ P_c=2AE\left(\alpha\Delta t_3-\frac{d}{L}\right)}.$$

問3では，点 A から B までの部材だけを取り出し，右向き座標を $x$ とする。点 D の荷重は，AB 部分に対して，点 B での下向き力 $P$ と時計回りモーメント $PL/3$ として作用する。点 B の上向き反力を $R$ とすると，点 A の鉛直反力は $$\boxed{⑭\ R_0=P-R}.$$ AB 部分の曲げモーメントは，切断面の右側の力のモーメントを用いて $$\boxed{⑮\ M(x)=P\left(\frac{4L}{3}-x\right)-R(L-x)}.$$ たわみの境界条件 $y(0)=y'(0)=y(L)=0$ を用いると $$y(L)=\frac{L^3}{EI}\left(\frac{P}{2}-\frac{R}{3}\right)=0$$ より $$R=\frac{3P}{2}.$$ したがって $$\boxed{⑯\ M_0=-\frac{PL}{6}},\qquad \boxed{⑰\ R=\frac{3P}{2}}.$$ このとき $$M(x)=P\left(-\frac{L}{6}+\frac{x}{2}\right).$$ 曲げ応力は $|M|$ が最大となる位置で最大であり， $$\boxed{⑱\ x=L}.$$ また $$EI\,y''=M(x)$$ を積分すると $$y(x)=\frac{P}{EI}\left(-\frac{Lx^2}{12}+\frac{x^3}{12}\right).$$ $y'(x)=0$ より内部の極値は $x=2L/3$ であり， $$y\left(\frac{2L}{3}\right)=-\frac{PL^3}{81EI}.$$ したがって $$\boxed{⑲\ x=\frac{2L}{3}},\qquad \boxed{⑳\ \frac{PL^3}{81EI}}.$$