東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

問1 図の初期直線部は $(\varepsilon,\sigma)=(0.18\%,360\,\mathrm{MPa})$ を通るので， $$E=\frac{360\,\mathrm{MPa}}{0.0018}=2.00\times 10^5\,\mathrm{MPa} =200\,\mathrm{GPa}.$$ 降伏応力は初期直線から外れる点の応力，引張強さは曲線の最大応力で読む。したがって $$\sigma_{\mathrm{Y}}=360\,\mathrm{MPa},\qquad \sigma_{\mathrm{B}}=600\,\mathrm{MPa}.$$ 点Aは $\varepsilon_A=0.60\%$, $\sigma_A=500\,\mathrm{MPa}$ である。完全除荷では傾き $E$ の直線で戻るため，弾性回復ひずみは $$\varepsilon_{\mathrm e}=\frac{500}{2.00\times 10^5}=0.0025=0.25\%.$$ 残留ひずみは $$\varepsilon_{\mathrm p}=0.60\%-0.25\%=0.35\%.$$ 断面積は $A=10^2=100\,\mathrm{mm^2}$ である。永久ひずみを避ける条件は $\sigma<\sigma_{\mathrm Y}$ だから $$P<\sigma_{\mathrm Y}A=360\times 100=3.60\times 10^4\,\mathrm{N}.$$ 安全率4で引張強さを基準にすると許容応力は $600/4=150\,\mathrm{MPa}$ なので $$P\le 150\times 100=1.50\times 10^4\,\mathrm{N}.$$

問2 丸棒A, Bは同じ長さ・断面・材料定数をもつ。接触前は自由に熱膨張するので，両棒の自由膨張量の和が隙間 $\delta$ を超える条件は $$2\alpha l\Delta T>\delta \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta T>\frac{\delta}{2\alpha l}.$$ 接触後の余分な自由膨張量は $2\alpha l\Delta T-\delta$ であり，2本の軸方向コンプライアンスの和は $2l/(ES)$ である。よって軸力 $$N=\frac{2\alpha l\Delta T-\delta}{2l/(ES)} =ES\left(\alpha\Delta T-\frac{\delta}{2l}\right)$$ が圧縮として生じる。応力の大きさは $$|\sigma|=E\left(\alpha\Delta T-\frac{\delta}{2l}\right).$$ Aの長さは，自由膨張から弾性圧縮を引いて $$l_A'=l+\alpha l\Delta T-\frac{Nl}{ES} =l+\frac{\delta}{2}.$$ 降伏しない条件は $$E\left(\alpha\Delta T-\frac{\delta}{2l}\right)\le \sigma_Y \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta T\le \frac{\delta}{2\alpha l}+\frac{\sigma_Y}{\alpha E}.$$ 次に，接触・接合後に初期温度へ戻す場合を考える。接合後の2本は壁間距離 $2l+\delta$ を満たすため，初期温度で全体に $\delta$ の伸びが必要である。対称性より各棒の弾性伸びは $\delta/2$ であり， $$\sigma_{\mathrm r}=E\frac{\delta/2}{l} =\frac{E\delta}{2l}$$ の引張残留応力が生じる。

問3 荷重 $P$ は点Aから距離 $l$ だけ離れた点Bに作用するので，部材OAにはねじりモーメント $$T=Pl$$ が生じる。点Aでのねじれ角は $$\phi_A=\frac{Tl}{GJ}=\frac{Pl^2}{GJ}.$$ この回転により，点Bの荷重方向変位は $$\delta_{B,T}=l\phi_A=\frac{Pl^3}{GJ}.$$ また，OAには横荷重 $P$ による曲げも生じ，固定端Oから距離 $x$ の断面の曲げモーメントの大きさは $$M(x)=P(l-x)\qquad (0\le x\le l).$$ 片持ちはり先端のたわみ公式より，この曲げによる点Aのたわみは $$\delta_A=\frac{Pl^3}{3EI}.$$ 点Aの並進は部材AB全体を同じ向きに移動させるため，点Bにも同じ変位を与える。さらにAB自体も長さ $l$ の片持ちはりとして曲げられるので $$\delta_{B,AB}=\frac{Pl^3}{3EI}.$$ したがって点Bの荷重方向変位は $$\delta_B=\frac{Pl^3}{GJ}+\frac{2Pl^3}{3EI}.$$