東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2024年度 院試 解答例・解説

方針

材料力学の基本量を，応力--ひずみ線図，熱応力，カスチリアノを使わない初等はり公式に分けて処理する。空欄補充型でも，単位と符号を最後にそろえると失点しにくい。

検算

問1の $E$ は $\mathrm{MPa}$ を無次元ひずみで割るため $2.00\times10^5\,\mathrm{MPa}$ となる。$0.18$ をそのまま使うと $2\,\mathrm{GPa}$ になり，鋼材相当の図として不自然である。問2では接触後のAの長さが $\Delta T$ に依存せず $l+\delta/2$ になる。左右対称の幾何からも同じ結論になり，式の符号確認に使える。

典型ミス

応力--ひずみ線図の残留ひずみで，点Aの全ひずみから $500/200$ を引く誤りが多い。$E=200\,\mathrm{GPa}=200000\,\mathrm{MPa}$ なので弾性回復は $0.25\%$ である。熱応力では，隙間を1本分に割り当てず，2本の合計自由膨張 $2\alpha l\Delta T$ と比較する。

試験で書くべきポイント

問3は点B変位を3つの寄与に分けて書くと採点者に伝わりやすい。すなわち，OAのねじり，OAの曲げによるAの並進，ABの曲げである。せん断変形を無視する指定があるため，$Pl/(GA)$ 型の項は入れない。

方針

問1は過減衰なので，三角関数ではなく2つの実指数関数で解く。問3は対称系であり，同相・逆相に分けると連成方程式をほとんど解かずに固有振動数が出る。

検算

過減衰根はどちらも負でなければならない。$\lambda_1+\lambda_2=-c/m$, $\lambda_1\lambda_2=k/m$ を満たすか確認すると符号ミスを発見できる。2自由度系では $k_c\to0$ とすると $\omega_1=\omega_2=\sqrt{k/m}$ となり，連結ばねが消えた極限と一致する。

典型ミス

衝突直後の加速度を0とする誤りがある。$x(0)=0$ でも $\dot{x}(0)=v_0$ なので，ダンパ力 $-c v_0$ が働き $\ddot{x}(0)=-cv_0/m$ である。2自由度系では，逆相モードの連結ばね伸びを $x$ ではなく $2x$ とする点が重要である。

試験で書くべきポイント

空欄形式でも，$\lambda_1<\lambda_2<0$ の順序を書いておくと $t_1$ の対数の符号が明確になる。選択問題は用語だけでなく一言の理由を添えると，記号の写し間違いを自分で確認できる。

方針

選択肢問題でも，熱力学では絶対温度，符号規約，状態量か経路量かを区別すれば機械的に解ける。特にカルノー効率と冷凍機のCOPは摂氏をそのまま使わない。

検算

湿り蒸気の $h$ は $h_f$ と $h_g$ の間に入る必要がある。$1700\,\mathrm{kJ/kg}$ は $500$ と $2500$ の間にあり，乾き度0.60なので飽和蒸気側へ6割寄った値で自然である。冷凍機ではCOPが15と大きいので，外気温は室温より少し高い程度になる。$47^\circ\mathrm C$ は差が $20\,\mathrm K$ で，$300/20=15$ と確認できる。

典型ミス

等温理想気体で $\Delta u=0$ を落とすと，$q$ と $w$ の関係を間違える。等エントロピー過程では「エントロピー一定」から直ちに $q=0$ とできるのは内部可逆が前提である。この前提を書かずに不可逆断熱まで含めると論理が崩れる。

試験で書くべきポイント

ブレイトンサイクルの $p$--$v$ 線図と $T$--$s$ 線図は，断熱過程が $T$--$s$ 図で鉛直になることを基準に選ぶ。図の細部よりも，4過程の名称を正しく並べることが得点の中心である。

方針

ロータ問題は運動量理論の標準形である。遠方上流速度を0とし，ロータ面速度が下流誘導速度の半分になる関係を，運動量とエネルギーの両方から導く。血流問題は円管ポアズイユ流れであり，速度分布から流量と壁面せん断応力を順に求める。

検算

ロータ面積が小さくなると，同じ推力を出すには流速が増え，仕事率も増える。ドローンの合計面積はヘリコプタの $0.64$ 倍なので，速度比 $1/\sqrt{0.64}=1.25$ は物理的に妥当である。ポアズイユ流れでは $Q\propto a^4G$，壁面せん断は $\tau_w\propto aG$ なので，$\tau_w\propto Q/a^3$ となる。

典型ミス

ロータの下流断面積をロータ面積と同じにしてしまうと $u_1=u_2$ になり，エネルギー式と矛盾する。血流では積分定数の $\ln r$ 項を残すと中心で速度が発散するため，軸対称円管流として不適切である。

試験で書くべきポイント

分岐則は流量保存だけでは $a_0^3=a_1^3+a_2^3$ にならない。必ず「各枝の壁面せん断応力が等しい」という仮定を使い，$Q/a^3$ が共通であることを明記する。