東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1は，低炭素鋼の降伏棚とリューダース変形を問う基本事項である。図中で明瞭な上降伏点・下降伏点を示す曲線は b であるから， $$\boxed{①\ b},\qquad \boxed{②\ \text{リューダース}},\qquad \boxed{③\ \text{塑性}},\qquad \boxed{④\ \text{加工}}$$ となる。

問2では，右向きを正にとる。壁 A, D から棒が受ける反力をそれぞれ $R_A,R_D$ とすると，力のつり合いは $$R_A+10+R_D=0 \quad [\mathrm{kN}]$$ である。棒1の $AB,BC$ の長さはそれぞれ $0.2\,\mathrm{m}$，棒2の $CD$ の長さは $0.3\,\mathrm{m}$ である。軸力は $$N_{AB}=-R_A,\qquad N_{BC}=N_{CD}=-(R_A+10)$$ であり，両端固定なので全伸びはゼロである。 $$\frac{N_{AB}0.2}{E_1A}+\frac{N_{BC}0.2}{E_1A} +\frac{N_{CD}0.3}{E_2A}=0 .$$ $E_1A=200\,\mathrm{GPa}\times 100\,\mathrm{mm^2}=20\,\mathrm{MN}$， $E_2A=10\,\mathrm{MN}$ を用いると $$-0.01R_A-0.01(R_A+10)-0.03(R_A+10)=0$$ より $$R_A=-8\,\mathrm{kN},\qquad R_D=-2\,\mathrm{kN}.$$ したがって $R_A$ は左向き $8\,\mathrm{kN}$，$R_D$ は左向き $2\,\mathrm{kN}$ である。応力は $$\sigma_{AB}=\frac{8\,\mathrm{kN}}{100\,\mathrm{mm^2}}=80\,\mathrm{MPa},$$ $$\sigma_{BC}=\sigma_{CD}=\frac{-2\,\mathrm{kN}}{100\,\mathrm{mm^2}} =-20\,\mathrm{MPa}.$$ 点 C の変位は A から C までの伸びであり， $$u_C=\frac{8\,\mathrm{kN}\cdot 0.2}{20\,\mathrm{MN}} +\frac{-2\,\mathrm{kN}\cdot 0.2}{20\,\mathrm{MN}} =6.0\times 10^{-5}\,\mathrm{m}.$$ よって C は右向きに $60\,\mu\mathrm{m}$ 移動する。

問3では単純支持ばりの全長を $2L$，荷重点を $x=3L/2$ とする。中央支持がない場合，点 A の反力は $$\boxed{⑬\ R_A=\frac{P}{4}}$$ である。曲げモーメントは $$\boxed{⑭\ M=\frac{P}{4}x\quad(0\le x\le 3L/2)}$$ $$\boxed{⑮\ M=\frac{P}{4}x-P\left(x-\frac{3L}{2}\right) =\frac{3P}{4}(2L-x)\quad(3L/2\le x\le 2L)}$$ である。単純支持ばりの点荷重によるたわみ公式を用いると，中央 C のたわみは $$\boxed{⑯\ y_{C2}=\frac{11PL^3}{96EI}} .$$ ここで下向きを正にとった。

中央反力 $R_C$ が上向きに単独で作用すると，問題で与えられたとおり $$y_{C1}=-\frac{R_CL^3}{6EI}$$ である。したがって接触条件は $$\boxed{⑰\ \delta=-\frac{R_CL^3}{6EI}+\frac{11PL^3}{96EI}} .$$ $\delta=0$ では $$\boxed{⑱\ R_C=\frac{11}{16}P}.$$ このとき点 A の反力は，荷重 $P$ による $P/4$ と，上向き中央荷重 $R_C$ による $-R_C/2$ の和であるから $$\boxed{⑲\ R_A=\frac{P}{4}-\frac{1}{2}\frac{11P}{16} =-\frac{3P}{32}} .$$ また $\delta=PL^3/(32EI)$ のときは，式 ⑰ より $R_C=P/2$ となるので $$\boxed{⑳\ R_A=\frac{P}{4}-\frac{P}{4}=0}.$$