東京科学大 工学院 機械系 機械系 専門科目 2022年度 院試 解答例・解説

方針

問2は「力のつり合い」だけでは反力が決まらない不静定問題である。両端固定なので，軸力による全伸びがゼロという適合条件を追加する。問3は重ね合わせで，荷重 $P$ による中央たわみと中央反力 $R_C$ による中央たわみを足し合わせる。

検算

問2では $R_A=-8\,\mathrm{kN}$，$R_D=-2\,\mathrm{kN}$ なので，$-8+10-2=0$ となり力のつり合いを満たす。応力は $100\,\mathrm{mm^2}$ に対して $1\,\mathrm{kN}$ が $10\,\mathrm{MPa}$ に対応するため，$8\,\mathrm{kN}$ は $80\,\mathrm{MPa}$，$2\,\mathrm{kN}$ は $20\,\mathrm{MPa}$ である。

典型ミス

棒2の剛性は棒1の半分である。ここを同じ剛性として扱うと反力比が変わる。また，応力の正負は「引張正」と指定されているため，$BC,CD$ の圧縮応力には負号を付ける。

試験で書くべきポイント

問3では $R_C$ が上向きであることから，中央たわみへの寄与が負になる。この符号を書かずに数値だけを操作すると，$\delta=0$ のときの $R_A$ が正になりやすい。答案では「下向きを正」と明記してから式 ⑰ を書くと採点者に伝わりやすい。

方針

円板の転がりは「回転エネルギーを並進座標に換算する」問題である。2自由度系は，まずばね・ダンパの相対変位を力に変換し，その後に複素振幅へ移すと整理しやすい。

検算

$X_1$ の分子は $1-r^2$ であるため，$r=1$ で質点1が静止する。これは質点2が動吸振器として働く反共振点であり，図の谷が $\Omega/\omega=1$ 付近に出ることとも一致する。

典型ミス

転がり円板の慣性項を $I/(2r^2)$ としてしまう誤りが多い。$1/2$ は運動エネルギーの前にすでに入っているので，等価質量への追加分は $I/r^2$ である。

試験で書くべきポイント

問2では，減衰項を $c(\dot{x}_1-\dot{x}_2)$ と $c(\dot{x}_2-\dot{x}_1)$ の組で書くことが重要である。作用反作用の符号が反対になっていないかを確認する。

方針

熱力学の選択問題は，状態量の大小と過程名を混同しないことが最重要である。ランキンサイクルでは，ボイラ出口 $3$ が最大エンタルピー，タービン出口 $4$ が次，ポンプ出口 $2$ と復水器出口 $1$ は近いが $h_2>h_1$ である。

検算

問2(2)の等温圧縮では，仕事と熱量の絶対値が一致する。これは $\Delta U=0$ の直接の帰結であり，選択肢も同じものになる。問3の値は $668/273\simeq2.45$ で，単位は $\mathrm{kJ/K}$ である。

典型ミス

自由膨張を可逆断熱膨張と混同して $TV^{\gamma-1}=\text{一定}$ を使ってはいけない。自由膨張は不可逆であり，理想気体では温度一定，エントロピーは増加する。

試験で書くべきポイント

選択肢式の問題でも，$R=R_0/M$，$\Delta S=Q_{\mathrm{rev}}/T$，$pv=RT$ のように根拠式を1行添えると，途中点を拾いやすい答案になる。

方針

前半は円柱まわりのポテンシャル流を，ジュコフスキー変換で平板翼に写す問題である。実部が速度ポテンシャル，虚部が流れ関数であることを最初に固定すると，円周速度の符号まで追いやすい。

検算

$\alpha=0$ ならクッタ条件から $\Gamma=0$，揚力も $F_L=0$ となる。これは対称な平板が迎え角ゼロで揚力をもたないことと一致する。

典型ミス

抗力の運動量欠損法で，断面 B の静圧が一様でない点を落としやすい。直接 $u_3=u_2$ としてはいけない。B から C へ損失なしで移るが，静圧が $p_\infty$ にそろうため速度が変わる。

試験で書くべきポイント

問2の最後は，$u_2,u_3,U_\infty$ を全圧・静圧差の平方根で表し，最後に積分核へ代入する形で示すとよい。式を一気に書くより，どの断面の圧力差からどの速度を求めているかが明確になる。

方針

問1(1)は懸垂線の長さで，$\cosh^2 u-\sinh^2 u=1$ を使う。問1(2)は Cauchy--Euler 型なので $x^m$ を代入するのが最短である。

検算

問2の答えは $a^4b$ に比例する。被積分関数が $x^2$ で面積要素を含む体積積分なので，半径方向は4乗，軸方向は1乗になる。次元の見積もりと一致する。

典型ミス

問3(2)では，積分路の内部にある極だけを足す。4つ全部を足すと無限遠での寄与まで混ぜることになり，答えが誤る。

試験で書くべきポイント

フーリエ変換の規約は問題文に合わせる。ここでは逆変換に $1/(2\pi)$ が付くため，パーシバルにも $1/(2\pi)$ が現れる。この係数を答案に明記すること。