京大 情報学研究科 先端数理科学コース 2023年度 院試 解答例・解説

左から掛ける写像の単射性

最後の設問は，実質的には「$B$ を左から掛ける操作が単射か」を問うている。$B$ は $4\times 3$ 行列なので，階数が3なら $$\ker B=\{0\}$$ である。したがって $B(C-D)=O$ から $C-D=O$ が従う。

階数判定の最短経路

$B$ 全体を掃き出す必要はない。上3行だけで作った $3\times 3$ 小行列式が $-24$ と非零なので，その時点で階数は少なくとも3である。列数が3である以上，階数は3を超えないため，すぐに $\operatorname{rank}B=3$ と分かる。

大きい方だけが残る

$(x^n+y^n)^{1/n}$ では，$n$ 乗によって大きい方の寄与が支配的になる。大きい方 $M$ をくくり出すと，残りは $1$ と $2^{1/n}$ の間に挟まれるので，極限が $M$ になる。

偶数べきだけの級数

$x^{2n}$ の形なので，通常のべき級数としては $y=x^2$ に置き換えると楽になる。係数は $3^n$ が支配的であり，$y$ の収束半径が $1/3$ になる。最後に $|y|=|x|^2$ を戻す点を忘れない。

拘束で自由度は1つになる

点 $B$ は $y$ 軸上にあり，$AB=\ell$ である。この条件だけで $B=(0,-2\ell\cos\theta)$ と決まる。したがって系の運動は $\theta$ だけで記述できる。

運動エネルギーの注意点

2本目の棒 $AB$ は，重心が単純な円運動をしていない。特に $G_2$ の $y$ 座標は $-3\ell\cos\theta/2$ なので，速度の $y$ 成分に係数3が出る。この係数を落とすと，小振動周期まで誤る。

小振動周期

小振動では $\theta^2\dot\theta^2$ のような高次項は無視する。そのため運動エネルギーの係数は $\theta=0$ で評価してよく，位置エネルギーは2次まで展開すれば十分である。

構成と不可能性を分ける

偶数次では，2次の具体例をブロック対角に並べれば一気に構成できる。一方，奇数次では行列式が最も強い制約になる。

行列式の平方条件

$X^2=3E_n$ なら $(\det X)^2=3^n$ である。整数行列なので $\det X$ は整数であり，左辺は整数の平方でなければならない。$3^n$ が平方数になるのは $n$ が偶数のときだけである。

楕円を円に戻す

射影領域は中心が $(2,0)$，半径方向の長さが $x$ 方向に2，$y$ 方向に1の楕円である。したがって $$x=2+2r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$ と置くと単位円板に戻せる。

高さを積分する

立体は $z=0$ と $z=1/(2+x)$ の間にあるので，体積は射影領域上で高さを積分すればよい。分母が $2+x=4+2r\cos\theta$ となるため，三角関数型の標準積分に帰着する。

存在と一意性を同じ道具で処理する

$|f'|\le 1/2$ は縮小写像を使うための条件である。さらに $0\le f\le 1/2$ と $x(1-x)\le 1/4$ により，反復列が $[0,1]$ の範囲から出ない。これで Banach の不動点定理をそのまま適用できる。

Fourier係数とLaurent係数

単位円周上で $z=e^{i\theta}$ とおくと，Laurent 展開の係数がそのまま Fourier 係数になる。外側の円から正の次数の減衰，内側の円から負の次数の減衰が出る。両方を同時に押さえるために $r=\max\{R_0^{-1},\rho_0\}$ と置く。

重解の固有値

固有値 $2$ は重解だが，固有空間は1次元である。そのため通常の対角化ではなく，$(A-2I)q=p$ を満たす一般化固有ベクトルを使う。Jordan鎖を用いれば $e^{2x}(q+xp)$ 型の項が自然に現れる。

Gamma関数の解析接続

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ は，右半平面の定義域を1つずつ左へ広げる公式である。分母に $z,z+1,\ldots$ が現れるため，非正整数に単純極が生じる。留数はその単純因子以外を代入して計算すればよい。

Newton法の収束

根でJacobianが正則なら，根の近くで一次近似を解くことが安定になる。Newton法の本質は，誤差の一次項を打ち消して二次の誤差だけを残す点にある。

半球面積分

$w_y-v_z$ はベクトル場の回転の第1成分である。本問では計算すると $x^2+y^2+z^2$ になり，単位球面上でちょうど1になる。したがって面積だけを求めればよい。

正弦級数を使う理由

境界条件が $u=0$ なので，$\sin(n\pi x)\sin(m\pi y)$ が自然な基底になる。右辺を正弦級数に展開すれば，$-\Delta$ は各モードに $\pi^2(m^2+n^2)$ を掛けるだけなので，係数を割り算で決められる。

保存形差分

$-\nabla\cdot(c\nabla u)$ のように係数 $c$ が空間変化する場合は，単に $c\Delta u$ と近似するよりも，格子辺でのフラックス差として離散化する方が自然である。対称性と正定値性も保ちやすい。

古典スピンの角度積分

古典的な磁気モーメントは単位球面上を連続的に動く。外部磁場方向を極軸に取ると，エネルギーは $-h\cos\theta$ だけに依存するため，角度積分は $$2\pi\int_0^\pi e^{\beta h\cos\theta}\sin\theta\,d\theta$$ に落ちる。

揺らぎと感受率

$\log Z$ を $\beta h$ で1回微分すると磁化平均，2回微分すると磁化分散になる。一方，磁化率は $h$ 微分なので，両者の間に $$\chi=\beta\,\operatorname{Var}(M)$$ が現れる。

平均場の臨界条件

平均場方程式の右辺を $m=0$ の近くで線形化し，直線 $m$ と接する条件を見る。傾きが1を超えると $m=0$ 以外の解が現れるため，$\beta_c Jq/3=1$ が臨界条件である。

粒子加速度は物質微分

非定常流では，$\partial u/\partial t$ だけが粒子加速度ではない。粒子が場所を移動することによる変化 $u\,u_x$ も加える必要がある。本問では2つの項が簡単にまとまり，$a=x/(1+t^2)^2$ となる。

停留点型流れ

$(u,w)=(-ax,az)$ は，$x$ 方向に圧縮し，$z$ 方向に伸長する流れである。非圧縮条件はこの圧縮と伸長が釣り合うことを要求し，$b=a$ を与える。

erf型分布

$v$ の方程式は $$\nu v''+axv'=0$$ であり，$v'$ がGauss型になる。したがって $v$ は誤差関数で表される。代表的な厚さは $$\delta\sim\sqrt{\frac{\nu}{a}}$$ であり，$a/\nu$ が大きいほど薄いせん断層になる。

遠方条件について

上の $v$ は壁からの距離 $x\ge0$ に対する境界層解である。全実線で $v(0)=0$ かつ両側の無限遠で同じ値 $U$ を課すと，この常微分方程式の古典解とは両立しない。流体力学的には，壁面から離れる片側極限 $x\to+\infty$ と読むのが自然である。