京大 情報学研究科 先端数理科学コース 2021年度 院試 解答例・解説

正則性は行列式で一発判定

正方行列が正則でないことと行列式が $0$ であることは同値である。ここでは行列式が一次式 $3(a-7)$ になるため，候補は一つしかない。

逆行列の検算

逆行列は余因子で求めても，掃き出しで求めてもよい。最後に例えば第1行と第1列の積が $$1\cdot \frac23+1\cdot(-1)+2\cdot\frac23=1$$ となることを確認しておくと，符号ミスを発見しやすい。

行列方程式から固有値方程式へ

$p(A)=O$ なら，$A$ の固有値 $\lambda$ は $p(\lambda)=0$ を満たす。これは行列多項式問題の基本手筋である。

トレースの巡回性

有限次元では $\operatorname{tr}(BC)=\operatorname{tr}(CB)$ は成分計算だけで示せる。より一般には積が定義できるサイズなら $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)$ のような巡回性も成り立つが，順序を任意に入れ替えられるわけではない。

差分を幾何級数で抑える

第1小問は，数列そのものではなく差分 $|a_{n+1}-a_n|$ が縮むことを見る問題である。差分の和が幾何級数で抑えられれば Cauchy 性が従う。

漸化式は2ステップ差分を見る

$x_{n+1}=p+1/x_n$ は単調性だけでは扱いにくい。しかし差を取ると反転写像の形が効いて， $$|x_{n+2}-x_{n+1}|=\frac{|x_{n+1}-x_n|}{x_nx_{n+1}}$$ となる。ここで $x_nx_{n+1}>1$ を一様に強めて評価するのが要点である。

極限値で検算する

収束が分かった後，極限を $L$ とおけば $$L=p+\frac1L$$ である。正の極限なので $$L=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}$$ となり，漸化式の挙動と整合している。

ベータ関数型の標準積分

$$\int_0^\infty \frac{x^{\alpha-1}}{1+x^\beta}\,dx$$ は院試で頻出の標準積分である。$x^\beta=t/(1-t)$ でベータ関数に帰着するか，扇形輪郭積分で評価できる。

収束条件の確認

原点近くでは被積分関数は $x$ 程度，無限遠では $x^{-2}$ 程度である。したがって広義積分は両端で収束しており，公式の適用条件 $0<2<3$ とも一致する。

角度が半角として入る

弦 $AP$ が鉛直方向となす角を $\theta$ とすると，中心角は $2\theta$ である。このため速さは $v=2R\dot\theta$ となる。ここを $R\dot\theta$ とすると，モーメントや時間比較の係数が崩れる。

ばねは縮んでいる

$AP=2R\cos\theta$ なので，頂上以外では $AP<2R$ である。ばねは伸びているのではなく縮んでおり，ばね力は質点を $A$ から遠ざける向きに働く。符号を考えると，ばねのモーメントは $\theta$ を減らす向きである。

平均値条件の役割

正則関数の実部と虚部は境界上で共役関係を持つが，定数の実部は Hilbert 変換では復元できない。そこで $\int u=0$ が必要になる。

完備性は一様収束と傾きの制御

Lipschitz ノルムは「関数値の一様ノルム」と「傾きの一様評価」の和である。一様収束だけでは極限の Lipschitz 性は自動では出ないため，差商の Cauchy 性を極限へ渡す部分を書くことが重要である。

閉形式と単連結性

$\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ は局所的にはポテンシャルの存在を示す条件である。単連結性があるため，閉曲線上の積分がすべて $0$ になり，大域的な経路独立性が得られる。

台形公式の評価

台形公式は1区間あたり $O(h^3)$ の誤差を持つ。区間数が $N$ 個なので全体では $NO(h^3)=O(N^{-2})$ となる。

平方根の跳び

負の実軸は主値平方根の分枝切断である。上側から近づくか下側から近づくかで極限値の符号が変わるため，虚部の符号判定が決定的である。

実関数の可除特異点

$x=\pm\pi/2$ では $\cos x$ も $4x^2-\pi^2$ も $0$ になる。複素指数関数で処理すると主値積分の公式が自然に現れるが，最終的な実積分は有限値を持つ。

曲面積分はStokesで境界へ落とす

直接パラメータ表示して面積分を計算するより，$\nabla\times A$ の流束であることに注目して Stokes の定理を使う方が短い。境界の向きだけを誤らないようにする。

ランク1行列の特異値

$W=uv^T$ はランク1で，非零特異値は $\|u\|\,\|v\|$ だけである。ブロック Jacobi の収束判定もこの値に集約される。

4状態は2状態の直積

$0,\varepsilon,\varepsilon,2\varepsilon$ という縮退つきスペクトルは，独立な2準位系2個の和である。そのため分配関数が $(1+e^{-\beta\varepsilon})^2$ となり，比熱も2倍になる。

吸着はFermi型の占有率

1つの吸着点には粒子が0個か1個しか入らない。したがって平均占有率は $$\frac{e^{\beta(\mu+\varepsilon)}}{1+e^{\beta(\mu+\varepsilon)}}$$ という Fermi 型の形になる。ここで $-\varepsilon$ が吸着エネルギーなので，$\varepsilon>0$ は吸着が有利な場合である。

グラフの概形

$\varepsilon>0$ では低温でほぼ全吸着，高温で脱着する単調減少型になる。$\varepsilon<0$ では低温でも吸着が不利で，高温では熱波長因子が小さくなるため，途中に山を持つ。

流線関数の符号

ここでは $u=f_y$, $v=-f_x$ である。この符号なら渦度は $$\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =-\Delta f$$ となる。循環の符号はこの一点で決まる。

圧力は外力のつり合いから先に決まる

平行流では $y$ 方向速度がないため，$y$ 方向の式は圧力勾配と外力の静的つり合いになる。そこから $p_x=ay$ が出て，$x$ 方向の粘性方程式に入る。