京大 情報学研究科 先端数理科学コース 2022年度 院試 解答例・解説

Binet型の式に直す

中心力では角運動量が保存するので，時間微分を $\theta$ 微分へ変換できる。$u=1/r$ と置くと $$\dot r=-h u',\qquad \ddot r=-h^2u^2u''$$ となり，軌道方程式が線形方程式に落ちる。

反発力と散乱角

力が外向きなので，軌道方程式の係数は $1+k/(mh^2)$ となる。$k=0$ なら $\alpha=1$ で散乱角は0になる。$k>0$ では $\alpha>1$ となり，散乱角は正になる。

階数2の判定

3次正方行列で階数が2になるには，まず行列式が0でなければならない。ここでは $\det X=9(a-2)$ となり，候補は $a=2$ だけである。その候補で2本の行が一次独立であることを確認すれば十分である。

べきの階数

$a=2$ では固有値が $0,\pm\sqrt{33}$ と異なるため対角化できる。べきを取ると0固有値は0のままで，非零固有値は非零のまま残る。したがって階数は常に2である。

固有空間を写す

式 $CA=BC$ は，$C$ が $A$ の作用と $B$ の作用をつなぐ写像であることを意味する。$A$ の固有ベクトル $v$ を $C$ で送ると，$Cv$ は $B$ の同じ固有値の固有ベクトル候補になる。

共通固有値がないことの使い方

もし $A$ と $B$ に共通固有値がないなら，その候補は零ベクトルでなければならない。$A$ が対角化可能なので，基底全体が $C$ で0に送られ，$C=O$ が従う。

複素余弦の絶対値

$|\cos(x+iy)|^2$ は $$\cos^2x+\sinh^2y$$ まで簡単に整理できる。長方形領域上の最大値なので，$\cos^2x$ と $\sinh^2y$ をそれぞれ最大にすればよい。

広義積分の置換

$x^2/(1+x^4)$ は，$x=1/t$ によって $1/(1+t^4)$ と同じ積分に変わる。あとは $1/(1+z^4)$ の上半平面の極 $$e^{i\pi/4},\quad e^{3i\pi/4}$$ を拾う標準計算で $\pi/\sqrt2$ が得られる。

第1象限の楕円領域

$x^2+xy+y^2$ は正定値二次形式であり，領域はその楕円の第1象限部分である。極座標にすると角度ごとの半径上限が一発で出る。

三角関数積分の処理

最後の角度積分は $\tan\theta=t$ で有理関数に変わる。分母が $t^2+t+1$ になるので，平方完成して arctan に帰着すればよい。

随伴作用素の定義

随伴作用素は，固定した $y$ に対して $x\mapsto(Ax,y)$ をRiesz表現することで得られる。有限次元での転置共役行列の議論を，Hilbert空間で一般化したものと考えるとよい。

値域と核の直交関係

基本公式は $$\overline{R(A)}=N(A^*)^\perp$$ である。閉包が付く点が重要で，値域が閉でない作用素では $R(A)$ 自体ではなく閉包が現れる。

二重層ポテンシャルの跳躍

二重層ポテンシャルは境界を越えると値が跳ぶ。今回の $E=(2\pi)^{-1}\log|x|$ と外向き法線の取り方では，外側極限から内側極限を引くと $-\mu$ になる。符号は法線方向と基本解の符号で決まる。

4乗で線形化する

微分方程式には $y^3$ と $y^4$ が現れるので，$Y=y^4$ と置くと一次線形方程式になる。初期値 $y(0)=1$ から正の枝を選ぶ。

頂点上のCauchy主値

極が三角形の頂点にあるため，通常の留数定理をそのまま使うのではなく主値を取る。多項式部分を除けば $1/(z-\omega)$ のみであり，頂点の内角 $\pi/3$ が $i\pi/3$ の寄与を与える。

熱方程式のCFL条件

陽解法では $\lambda=\Delta t/(\Delta x)^2$ が大きすぎると高周波モードが増幅される。安定条件 $\lambda\le1/2$ は必ず明記する必要がある。

面の向き

円錐面の法線は2通りある。本問では $n_z<0$ が指定されているので，面素ベクトルの符号をここで決める。符号を逆にすると答え全体が逆符号になる。

反復法の見方

反復法の収束は，誤差 $e_i=x_i-x_*$ が $$e_{i+1}=Te_i$$ を満たすことを見ればよい。作用素ノルムが1未満なら誤差は幾何級数的に0へ収束する。

ブロック反復

第2の反復はブロックJacobi型である。$I+A$ を左辺に置くことで，反復行列に $(I+A)^{-1}$ が現れる。$A$ が正定値なら $\|(I+A)^{-1}\|<1$ となり，$\|B\|<1$ と合わせて縮小性が得られる。

Mayer関数

$$f(r)=e^{-\beta U(r)}-1$$ はMayer関数である。相互作用が弱いとき，$\prod(1+f_{ij})$ を1次で打ち切ると，2粒子相関だけが残る。

係数 $4\pi$ の由来

相対座標 $r_i-r_j$ の積分は3次元球対称なので $$\int_{\mathbb{R}^3}f(|r|)\,d^3r=4\pi\int_0^\infty f(r)r^2\,dr$$ となる。これが $a=4\pi$ の由来である。

圧力補正の符号

硬芯部分は $f=-1$ で排除体積効果を与え，圧力を上げる向きに働く。引力部分は $f>0$ となり，式では圧力を下げる補正として現れる。$U_0$ が大きいほど圧力が下がるのはこのためである。

密度変化と速度勾配

密度が時間とともに $e^{-at}$ で減少するため，連続の式は $u_x=a$ を要求する。境界値 $u(0,t)=u_0$ を足せば速度場が決まる。

循環は保存される量

初期速度 $a/(2\pi r)$ は点渦の速度場であり，どの半径の円でも循環は $a$ になる。粘性によって渦度は広がるが，全循環は保たれる。

Lamb-Oseen型の拡散

突然停止後の渦度はGauss型に拡散する。速度は $$1-e^{-r^2/(4\nu t)}$$ という因子を持ち，中心では有限に近づき，遠方では元の $a/(2\pi r)$ に近づく。