新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2019年度 第1回募集 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

(1) 以下ではガンマ関数・ベータ関数の各積分が収束する範囲、すなわち $x>0,\ y>0$ を仮定して計算する。まず部分積分により $$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$$ が成り立つ。境界項は $$\lim_{t\to\infty} t^x e^{-t}=0,\qquad \lim_{t\to0+} t^x e^{-t}=0$$ で消える。さらに $$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1$$ であるから、自然数 $n$ に対して帰納的に $$\Gamma(n)=(n-1)!$$ である。

(2) ベータ関数の対称性は、積分で $t=1-u$ と置換すればよい。 $$\begin{aligned} B(x,y) &=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\ &=\int_0^1 (1-u)^{x-1}u^{y-1}\,du\\ &=B(y,x). \end{aligned}$$

(3) 次にガンマ関数の積を考える。被積分関数は非負なので、積分順序や変数変換は Tonelliの定理の範囲で正当化できる。 $$\Gamma(x)\Gamma(y) =\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(s+t)}s^{x-1}t^{y-1}\,ds\,dt.$$ 変数変換 $$r=s+t,\qquad u=\frac{s}{s+t}$$ を用いると、領域 $s>0,\ t>0$ は $r>0,\ 0<u<1$ に移る。また $s=ru,\ t=r(1-u)$ であり、ヤコビアンは $$\left|\frac{\partial(s,t)}{\partial(r,u)}\right| = \left| \begin{matrix} u&r\\ 1-u&-r \end{matrix} \right| =r$$ である。したがって $$\begin{aligned} \Gamma(x)\Gamma(y) &=\int_0^\infty\int_0^1 e^{-r}(ru)^{x-1}\{r(1-u)\}^{y-1}r\,du\,dr\\ &=\left(\int_0^\infty e^{-r}r^{x+y-1}\,dr\right) \left(\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^{y-1}\,du\right)\\ &=\Gamma(x+y)B(x,y). \end{aligned}$$

(4) 最後に $$I=\int_{-1}^{1}(1-t^4)^n\,dt$$ を求める。被積分関数は偶関数なので $$I=2\int_0^1(1-t^4)^n\,dt.$$ $u=t^4$ とおくと $dt=\frac14u^{-3/4}\,du$ だから $$\begin{aligned} I &=\frac12\int_0^1 u^{1/4-1}(1-u)^n\,du\\ &=\frac12 B\left(\frac14,n+1\right)\\ &=\frac{\Gamma(1/4)\Gamma(n+1)}{2\Gamma(n+5/4)}. \end{aligned}$$