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新潟大学 院試 過去問 解答例

新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2022年度 第2回募集 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

全6問。位相・幾何1問・線形代数1問・微分積分・解析1問。テーマタグは3件（固有値・固有ベクトル・群論・環論・直交対角化）。2022年度 第1回募集と共通のテーマは固有値・固有ベクトル・群論・環論。

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収録12年度分の解答PDF：新潟大学 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学（￥3,200・紙面見本あり）

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解説6問と大問1問の途中式・最終答（全6問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき6問）
問題本文
非収録

新潟大 数学 2022年度 第2回募集 院試 過去問の出題内容（全6問）

この6問の分野は位相・幾何1問・線形代数1問・微分積分・解析1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問微分積分・解析逆三角関数と積分第2小問は積分公式の準備 / 平方完成あり
第2問線形代数対称行列の直交対角化対称行列は直交対角化できる / 重複固有値の処理あり
第3問位相・幾何コンパクト集合と閉集合の和集合和を交わりに言い換える / コンパクト性の役割あり
第4問—正規化群と中心化群正規化群と中心化群の違い / 二面体群の中心あり
第5問—円柱らせんの曲率と捩率速度が一定のらせん / 公式を使うときの注意あり
第6問—2変数線形計画と双対最小化で不等号がすべて下向きでない場合 / 相補性による検算あり

2022年度 第2回募集の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は2問に3テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第2問25大学・544問
群論・環論第4問13大学・60問
直交対角化第2問14大学・23問

前年度（2022年度 第1回募集）との違い

大問数
2022年度 第1回募集 6問 → 2022年度 第2回募集 6問
両年度に出たテーマ
固有値・固有ベクトル・群論・環論
2022年度 第2回募集で新しく出たテーマ
直交対角化
2022年度 第1回募集のページを見る

第1問 — 逆三角関数と積分

第2小問は積分公式の準備

g′(x)=2a2−x2g'(x)=2\sqrt{a^2-x^2} となるように作られている。第3小問以降はこの結果を使うと、三角置換を最初からやり直す必要がない。

平方完成

−2x−x2-2x-x^2 はそのままだと扱いにくいが、1−(x+1)21-(x+1)^2 と平方完成すれば第3小問と同じ形になる。定数 CC があるため、置換後の積分定数を別に追跡する必要はない。

定義域と枝の確認

逆三角関数の問題では、どの枝を使っているかが符号に直結する。 sin⁡−1x\sin^{-1}x の微分では cos⁡y>0\cos y>0 を使うので、値域の確認を答案に 一言入れると減点されにくい。平方根を含む不定積分では、公式を 適用できる実数区間を先に見てから微分で検算すると安全である。

解答

(1) y=sin⁡−1xy=\sin^{-1}x とおくと、sin⁡y=x\sin y=x かつ −π/2<y<π/2-\pi/2<y<\pi/2 である。両辺を xx で微分して cos⁡y dydx=1. \cos y\,\frac{dy}{dx}=1. この範囲では cos⁡y>0\cos y>0 なので cos⁡y=1−sin⁡2y=1−x2. \cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}. よって ddxsin⁡−1x=11−x2. \frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}. ここで用いた平方根は正の平方根である。逆正弦の値域を (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2) に取っているため cos⁡y>0\cos y>0 となり、 符号を誤って −1−x2-\sqrt{1-x^2} としてはいけない。

(2) g(x)=xa2−x2+a2sin⁡−1xa(a>0) g(x)=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\sin^{-1}\frac{x}{a}\qquad(a>0) とする。積の微分と第1小問より g′(x)=a2−x2+x⋅−xa2−x2+a2⋅11−(x/a)2⋅1a=a2−x2−x2a2−x2+a2a2−x2=2a2−x2. \begin{aligned} g'(x) &=\sqrt{a^2-x^2} +x\cdot\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} +a^2\cdot\frac1{\sqrt{1-(x/a)^2}}\cdot\frac1a\\ &=\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} +\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ &=2\sqrt{a^2-x^2}. \end{aligned} 特に ddxsin⁡−1xa=1a2−x2 \frac{d}{dx}\sin^{-1}\frac{x}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} である。a>0a>0 なので 1−(x/a)2=a2−x2/a\sqrt{1-(x/a)^2}=\sqrt{a^2-x^2}/a と直せる点を明記しておくと、 係数 aa の取り違えを防げる。

(3) 第2小問で a=1a=1 とすれば ddx{12(x1−x2+sin⁡−1x)}=1−x2. \frac{d}{dx}\left\{\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\sin^{-1}x\right)\right\} =\sqrt{1-x^2}. したがって ∫1−x2 dx=12(x1−x2+sin⁡−1x)+C. \int\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\sin^{-1}x\right)+C. 微分で検算すると、 12(1−x2−x21−x2+11−x2)=1−x2 \frac12\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} +\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right) =\sqrt{1-x^2} となる。最後の 11 は 1−x2+x21-x^2+x^2 と合わさるため、係数 1/21/2 を落とさないことが重要である。

(4) −2x−x2=1−(x+1)2 -2x-x^2=1-(x+1)^2 であるから、u=x+1u=x+1 とおくと ∫−2x−x2 dx=∫1−u2 du. \int\sqrt{-2x-x^2}\,dx = \int\sqrt{1-u^2}\,du. よって ∫−2x−x2 dx=12((x+1)−2x−x2+sin⁡−1(x+1))+C. \int\sqrt{-2x-x^2}\,dx = \frac12\left((x+1)\sqrt{-2x-x^2}+\sin^{-1}(x+1)\right)+C. 実数値の積分として扱う区間では −2x−x2≥0-2x-x^2\ge0、すなわち −2≤x≤0-2\le x\le0 が自然な定義域である。不定積分の公式自体は その区間の内部で微分して確かめれば十分である。

最終答

(1) 11−x2. \frac1{\sqrt{1-x^2}}.

(2) g′(x)=2a2−x2. g'(x)=2\sqrt{a^2-x^2}.

(3) 12{x1−x2+sin⁡−1x}+C. \frac12\{x\sqrt{1-x^2}+\sin^{-1}x\}+C.

(4) 12{(x+1)−2x−x2+sin⁡−1(x+1)}+C. \frac12\{(x+1)\sqrt{-2x-x^2}+\sin^{-1}(x+1)\}+C.

第2問 — 対称行列の直交対角化

対称行列は直交対角化できる

AA は実対称行列なので、異なる固有値に属する固有空間は直交する。重複固有値 22 の固有空間内では、互いに直交する固有ベクトルを選べばよい。

重複固有値の処理

固有値 22 は重複しているため、固有ベクトルを1本だけ出して終わると対角化には不足する。固有空間の次元が 22 であることを意識し、互いに一次独立な2本を取り、さらに直交行列を作るために直交する組へ整える。本解では最初から内積が 00 になる2本を選んでいるので、グラム・シュミットの計算を省ける。

正規化の順序

直交行列 PP を作るには、固有ベクトルを列に並べるだけでなく、それぞれを長さ 11 に正規化する必要がある。列の順番を変えると、対角行列の対角成分の順番も同じように変わる。

対称行列の直交対角化の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — コンパクト集合と閉集合の和

集合和を交わりに言い換える

x∈A+Bx\in A+B を A∩(x−B)≠∅A\cap(x-B)\ne\varnothing と言い換えるのが全体の入口である。これにより、A+BA+B の外側の点を、AA と閉集合 x−Bx-B の分離問題として扱える。

コンパクト性の役割

閉集合から各点を分離する半径は点ごとに違う。コンパクト集合では有限部分被覆を取れるため、有限個の半径の最小値から一つの共通半径を作れる。第4小問はこの標準的な議論を定式化している。

答案で落としやすい点

第5小問で必要なのは、AA と x−Bx-B が交わらないことを示した後、 x−Bx-B が閉集合であると確認することである。また、閉集合どうしの和が 一般に閉とは限らないため、AA のコンパクト性を使って共通の ε\varepsilon を作る部分を省略してはいけない。

コンパクト集合と閉集合の和の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 正規化群と中心化群

正規化群と中心化群の違い

正規化群は集合 SS 全体を共役で保つ元の集まりであり、中心化群は SS の各元と一つずつ可換な元の集まりである。中心化群の方が条件は強く、常に ZG(S)⊂NG(S)Z_G(S)\subset N_G(S) が成り立つ。

二面体群の中心

二面体群では、中心に入る可能性があるのは基本的に回転である。反射は回転 rr と可換にならない。回転 rkr^k が反射とも可換になる条件が 2k≡0(modn)2k\equiv0\pmod n であり、ここで nn の偶奇が分かれる。

共役条件の読み替え

x−1Hx=Hx^{-1}Hx=H は、xx による共役作用が HH を集合として保つという 意味である。各元を固定する必要はなく、そこが中心化群との違いである。 第3小問ではこの読み替えにより、HH が正規になる最大の舞台を 正規化群として特徴づけている。

正規化群と中心化群の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — 円柱らせんの曲率と捩率

速度が一定のらせん

この曲線は半径 aa の円運動と高さ方向の等速運動を合わせた円柱らせんである。速度の長さが tt に依存しないため、弧長パラメータ条件は単にその速度が 11 であることに帰着する。

公式を使うときの注意

曲率公式 κ=∥p′×p′′∥∥p′∥3 \kappa=\frac{\|\mathbf p'\times\mathbf p''\|}{\|\mathbf p'\|^3} は任意の正則パラメータで使える。弧長パラメータであることが分かった後なら ∥p′∥=1\|\mathbf p'\|=1 として簡単になるが、先に c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 を代入しない場合でも同じ値に到達する。捩率では三重積の符号が向きに依存するので、p′,p′′,p′′′\mathbf p',\mathbf p'',\mathbf p''' の順序を固定して計算することが重要である。

曲率と捩率の意味

曲率 κ\kappa は曲がりの強さ、捩率 τ\tau は平面から外れてねじれる強さを表す。b=0b=0 なら平面円となり捩率は 00 になる。式 τ=b/(a2+b2)\tau=b/(a^2+b^2) はこの極限とも整合している。

極限での検算

aa が大きくなると半径の大きな円柱上をゆるく曲がるため、κ=a/(a2+b2)\kappa=a/(a^2+b^2) は小さくなる。反対に a=0a=0 に近づくと曲線はほぼ直線運動になり、曲率も 00 に近づく。このような幾何的な挙動と式が一致するかを最後に見ると、計算ミスを発見しやすい。

円柱らせんの曲率と捩率の途中式・最終答をPDFで見る

第6問 — 2変数線形計画と双対

最小化で不等号がすべて下向きでない場合

制約が ≥\ge 型で、目的が最小化なので、実行可能領域は各直線の上側に広がる。等高線を原点側から押し上げると最初に触れる頂点が最適点になる。

相補性による検算

主問題の最適点 (4,2)(4,2) では第1制約は余裕を持ち、第2・第3制約が等号で成り立つ。そのため双対最適解では y1=0y_1=0 となり、y2,y3y_2,y_3 が正になる。この対応はシンプレックス表で得た解の検算に使える。

頂点候補の選び方

2変数線形計画では、境界直線の交点をすべて機械的に採用するのではなく、 各点が全制約を満たすかを確認する。実行可能でない交点を表に入れると、 等高線の動かし方と最適値の判断がずれる。双対の最適値が同じ 1616 になることは、主問題の頂点計算の強い検算になる。

2変数線形計画と双対の途中式・最終答をPDFで見る

新潟大 数学 院試 過去問の収録12年度

  • 2023年度 第2回募集（全6問）

    逆正接関数 ／ 対角化 ／ ユニタリ群

  • 2023年度 第1回募集（全6問）

    積分計算 ／ 行列の累乗 ／ 距離空間の連続性

  • 2022年度 第2回募集（このページ・全6問）

    逆三角関数と積分 ／ 対称行列の直交対角化 ／ コンパクト集合と閉集合の和

  • 2022年度 第1回募集（全6問）

    楕円体の体積 ／ 2次行列の対角化 ／ 距離空間と同相写像

  • 2020年度 第2回募集（全6問）

    2変数関数の極値 ／ 対角化と行列の累乗 ／ HolderとMinkowskiの不等式

  • 2020年度 第1回募集（全6問）

    微分積分：2変数関数の偏導関数とヘッセ行列による極値判定 ／ 線形代数：対合行列の対角化と A^n ／ 位相：閉包と連結性の保存

  • 2019年度 第2回募集（全6問）

    微分積分：原点の特異性を持つ広義積分の収束次元依存性 ／ 線形代数：対称・交代分解、逆行列、対角化可能性、多項式の固有値 ／ 距離空間：収束列・コーシー列・有界性・部分列

  • 2019年度 第1回募集（全6問）

    ガンマ関数とベータ関数 ／ ジョルダン標準形 ／ 極分解

  • 2018年度 第2回募集（全6問）

    微分積分：部分分数分解・広義積分の収束・極座標による重積分 ／ 線形代数：4\times4 対称行列の行列式・固有値・直交対角化 ／ 位相：閉包の点列的でない特徴づけと連続写像による像の閉包

  • 2018年度 第1回募集（全6問）

    微分積分：逆正弦関数の冪級数展開と楕円体の切片の体積 ／ 線形代数：実対称行列の直交対角化と二次形式の標準形 ／ 複素解析：単位円上のハーディ内積とノルムの計算

  • 2017年度 第2回募集（全6問）

    線形代数：対角化・行列のべき・対角化可能性の判定 ／ 微分積分：平坦な関数の無限回微分可能性とガウス積分 ／ 微分方程式：接線の内分条件から定まる曲線

  • 2017年度 第1回募集（全6問）

    微分積分：三角形の山を持つ関数列と極限の交換 ／ 線形代数：べき等行列と直交行列の固有値 ／ 位相：コンパクト性と連続全単射が同相になる条件