新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2023年度 第1回募集 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

有理関数の処理

2 次式の積分では，まず因数分解できるか，できなければ平方完成できるかを見る。 実数で一次因子に分かれる場合は部分分数分解，判別式が負になる場合は $a^2+u^2$ 型に直して逆正接関数に帰着する。

Wallis 型の漸化式

$I_n$ の計算では，$\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x$ と分けて $\sin x\,dx$ を微分しやすい形にするのが標準的である。 区間端点で $\sin x=0$ となるため境界項が消える。この一点を明記すると， 漸化式の導出が答案として読みやすくなる。

対角化できない場合の累乗

対角化できない行列でも，特性多項式から得られる関係式で累乗を下げられる。 この問題では $A^2-E$ が零でない冪零行列になっているため，二項展開が 1 次で止まる。Jordan 標準形を明示しなくても，同じ計算が行える。

確認

$n=1,2$ を代入すると，表示した式はそれぞれ $A,A^2$ と一致する。 また偶数乗では左上成分が $1$，奇数乗では $-1$ となり，固有値 $-1$ の寄与も 正しく反映されている。

証明の組み方

距離空間では，$\varepsilon$--$\delta$ による連続性，点列による連続性， 開近傍による連続性が一致する。点列条件から $\varepsilon$--$\delta$ 条件へ戻す部分だけは， 直接証明より対偶が自然である。

近傍条件の読み替え

(iii) は，$f(a)$ の任意の開近傍 $V$ に対して，$a$ の近くを十分小さく取れば その像が $V$ に入る，という主張である。これは $U\subset f^{-1}(V)$ と書くと 逆像を使った位相的な連続性そのものになる。

対称群の共役類

$S_n$ では型だけを見ればよい。型 $1^{m_1}2^{m_2}\cdots n^{m_n}$ の元の個数は $$\frac{n!}{\prod_{k=1}^n k^{m_k}m_k!}$$ で求められる。この公式を使うと，$S_4,S_5$ の表の個数を機械的に確認できる。

交代群で共役類が分裂する場合

$S_n$ の共役類を $A_n$ に制限すると，そのまま一つの共役類になる場合と二つに分裂する場合がある。 判定の核心は「中心化群に奇置換があるか」である。 本問では $A_4$ の 3-cycle と $A_5$ の 5-cycle だけが，中心化群を偶置換だけで持つため分裂する。 最後の正規部分群の議論では，正規部分群が共役類の和集合になることと， その位数が群の位数を割ることを同時に使う。

中心を使う

半径は「最もよい基準点から見た最大距離」である。直径の上界を示すときは， 任意の 2 点を直接比べるのではなく，中心 $c$ を経由して三角不等式を使うと一行で済む。

道 $P_n$ の添字

ここでは $P_n$ が「辺数 $n$ の道」と指定されているため，頂点数は $n+1$ である。 文献によっては $P_n$ を $n$ 頂点の道とすることがあるので，半径・直径の添字を 取り違えないようにする。

符号に注意する制約

第 2 制約は右辺が負なので，余剰変数を入れたあとに式全体を $-1$ 倍して 右辺を正にしている。この操作をしないと，初期基底解の可否を誤りやすい。

双対による検算

主問題の最小値と双対問題の最大値がともに $10$ で一致する。これは強双対性による 自然な検算であり，シンプレックス法で得た解が最適であることの確認にもなる。