新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2023年度 第2回募集 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

偏導関数

$\tan^{-1}(y/x)$ は合成関数である。外側の微分 $(\tan^{-1}u)'=1/(1+u^2)$ と，内側 $u=y/x$ の偏微分を分けて書けば 符号のミスを防げる。 ただし $\tan^{-1}(y/x)$ を角度関数として扱うときは，$x=0$ をまたぐ枝の扱いに 注意する。この問題の偏微分計算では，通常の 1 変数関数 $\tan^{-1}$ と $y/x$ の合成として定義される領域上で計算している。

積分順序の選択

三角形領域では，被積分関数が $y$ だけの関数であることに注目する。 $x$ を先に積分すると横幅が $y$ になり，1 変数積分 $\int_0^1 2y/(1+y^2)\,dy$ に直ちに落ちる。 逆順で積分してもよいが，その場合は $0\le x\le1,\ x\le y\le1$ と 境界を読み替える必要がある。領域の不等式を先に固定してから積分順序を決めると， 三角形の上端・下端を取り違えにくい。

通常の対角化と直交対角化

固有ベクトルが 3 本一次独立に取れるため，通常の対角化は可能である。 重複固有値 $2$ について 2 本の一次独立な固有ベクトルを取れている点が重要で， 代数的重複度だけを見ても対角化可能性は判定できない。 一方，実行列が直交対角化できるなら対称行列でなければならない。 この問題では行列が対称でないため，通常の対角化ができても直交対角化はできない。

答案上の注意

(3) では「固有値が実数だから可能」としてはいけない。実固有値を持つことは 直交対角化の必要条件ではあるが十分条件ではない。対称性を確認するのが最短で確実である。 また，対角化行列 $P$ は列の順に固有ベクトルを並べるので，対角行列の固有値の順序も 同じ順に並ぶ。列を入れ替えた場合は，対角成分の順序も対応して入れ替える。

行列式写像を見る

$SU(n)$ を正規部分群として扱う最短ルートは，行列式を群準同型として見ることである。 正規性を共役計算で直接示すこともできるが，核であることを使う方が構造が明確になる。 ここでは $\det(A^*)=\overline{\det A}$ を使い、$A^*A=I_n$ から 行列式が絶対値 $1$ になることを明示しておくと、写像の値域が本当に $U(1)$ に入ることまで確認できる。

全射性

商群が $U(1)$ と同型であることまで言うには，行列式写像が全射であることが必要である。 対角行列 $\operatorname{diag}(\alpha,1,\ldots,1)$ を用いれば，任意の $|\alpha|=1$ が行列式として実現される。 最後は $$U(n)/\ker(\det)\simeq \operatorname{Im}(\det)$$ という第一同型定理を適用し、$\ker(\det)=SU(n)$ と $\operatorname{Im}(\det)=U(1)$ を代入するだけでよい。

逆像で押し切る

位相の問題では，写像そのものよりも逆像を計算する方が安定する。 逆像は任意和と任意交叉を保つため，開集合族の公理と相性がよい。 第1小問の位相は「逆像が開になる集合を開集合と呼ぶ」という作り方であり， この定義を採用した瞬間に $f$ は連続になる。

コンパクト性の証明

連続像のコンパクト性は，像の開被覆を逆像で $X$ の開被覆に戻し，有限部分被覆を 再び像側へ送る，という流れで証明する。像 $f(X)$ の開集合は一般に $Y$ 全体の 開集合ではなく相対開集合なので，$U_\lambda=f(X)\cap V_\lambda$ と一度書き直すと 論理が明確になる。Hausdorff 性などの仮定は不要である。

階数の見方

3 行の一次独立性を直接示すのが簡潔である。$M$ の条件は，二つのベクトル $(x,y),(z,w)$ がともに長さ $1$ で直交することを意味している。この直交性を 内積計算に使うと，係数 $a,b,c$ が順に消える。

コンパクト性

逆像として閉性を示し，方程式から有界性を示す。$\mathbb{R}^n$ では Heine--Borel の定理により閉有界性とコンパクト性が同値であるため，この二点で十分である。

双対を解く利点

主問題は最小化で制約が「$\geq$」型なので，双対は 2 変数の最大化問題になる。 図形的にもシンプレックス法でも扱いやすく，最適値 $270$ がすぐに確認できる。

主問題側の確認

相補性から，双対最適解では第 1,2 制約が等号で，第 3 制約は余裕を持つ。 したがって主問題では $x_3=0$ が自然に予想される。実際， 基底解 $\left(6/5,1/5,0,0,0\right)$ の目的関数値は $190\cdot6/5+210\cdot1/5=270$ で，双対最適値と一致する。