新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2018年度 第2回募集 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

(1) の検算

求めた原始関数を微分すると $\dfrac{5}{9(x+1)}-\dfrac{1}{3(x+1)^2}+\dfrac{4}{9(x-2)}$。 通分すると分子は $\frac59(x+1)(x-2)-\frac13(x-2)+\frac49(x+1)^2$ で、 $x^2$ の係数は $\frac59+\frac49=1$、 $x$ の係数は $-\frac59-\frac13+\frac89=\frac{-5-3+8}{9}=0$、 定数項は $-\frac{10}{9}+\frac23+\frac49=0$。 確かに $x^2$ に戻る。

(2) の意味

$s>1$ で収束、$s\le1$ で発散するというこの結果は、 比較判定法で他の広義積分の収束を調べるときの基準になる。 なお区間が $\int_0^1x^{-s}dx$ なら逆に $s<1$ で収束する。 発散する側の端点がどちらかで条件が反転することに注意する。

(3) の別解と検算

$x^2+y^2$ が $x$、$y$ について対称なので $\iint_Dx^2=\iint_Dy^2=\frac12\iint_D(x^2+y^2)=\frac{\pi a^4}{4}$ である。 これは半径 $a$、面密度 $1$ の円板の直径まわりの慣性モーメントにあたり、 質量 $M=\pi a^2$ を使うと $\frac{Ma^2}{4}$ となって既知の値と一致する。 また求めた $\frac{\pi a^4}{2}$ は中心軸まわりの慣性モーメント $\frac{Ma^2}{2}$ である。

失点しやすい点

(1) で $(x+1)^2$ に対して $\dfrac{B}{(x+1)^2}$ の1項だけを置くと、 連立が解けなくなるか誤った答えになる。重根には次数分の項を用意すること。 (2) で $s=1$ を「$s>1$ でない」として片付けず、対数発散を明示すること。 (3) でヤコビアン $r$ を落とすと $\frac{2\pi a^3}{3}$ という誤答になる。

方針

「対角成分が $a$、非対角成分がすべて $b$」の $n$ 次行列は $(a-b)I+bJ$ と書け、 固有値は $a+(n-1)b$（1重）と $a-b$（$n-1$ 重）である。 本問は $a=3$、$b=-1$、$n=4$ なので $3-3=0$ と $3+1=4$。 この形を覚えておくと $4\times4$ の特性多項式を展開せずに済む。

ヘルマート行列

(3) で使った $\bm u_2,\bm u_3,\bm u_4$ の作り方は、 $k$ 番目のベクトルを $(1,\dots,1,-k,0,\dots,0)/\sqrt{k(k+1)}$ とする一般的な構成である。 これはヘルマート行列と呼ばれ、統計学で「偏差平方和の分解」に使われる。 成分の和が $0$ という条件を満たす直交系を系統的に作れるので、 $n$ が大きい場合でもグラム・シュミットの計算を省ける。

検算

$\operatorname{tr}A=3\times4=12$ で、固有値の和 $0+4+4+4=12$ と一致する。 $P$ の各列の大きさが $1$ であることも確かめておく。 たとえば $\bm u_4$ は $\dfrac{1+1+1+9}{12}=1$。

失点しやすい点

(3) は「直交行列」なので、固有値 $4$ の固有ベクトルを $(1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(1,0,0,-1)$ のように取ると互いに直交せず不適である。 グラム・シュミットで直交化するか、上のヘルマート型を使うこと。 また列の順序と対角成分の順序を対応させること （第1列が固有値 $0$ なら対角の第1成分が $0$）。

方針

(1) は閉包の「最小の閉集合」という定義と、 補集合が開であることを行き来するだけで示せる。 どちらの向きも対偶を取ると、開集合を1つ具体的に作るだけで済む。 (2) は「$B$ での近傍を $f^{-1}$ で $A$ に引き戻す」という連続性の使い方が要点で、 最後にもう一度 (1) を $B$ 側で使って結論に戻る。

等号が成り立たない例

(2) の包含は一般に等号にならない。 $A=B=\mathbb R$、$f(x)=\arctan x$、$M=\mathbb R$ とすると $\overline M=\mathbb R$、$f\!\left(\overline M\right)=\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ だが $\overline{f(M)}=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ で真に大きい。 (3) で閉包を取れば等号になるのはこの差を吸収するためである。

連続性の同値な言い換え

実は「任意の $M$ に対して $f\!\left(\overline M\right)\subset\overline{f(M)}$」は $f$ の連続性と同値である。 逆向きの証明は、$B$ の閉集合 $F$ に対して $M=f^{-1}(F)$ とおいて $f\!\left(\overline M\right)\subset\overline{F}=F$ から $\overline M\subset f^{-1}(F)=M$、 すなわち $M$ が閉であることを示す。 本問の (2) はその一方向にあたる。

失点しやすい点

一般の位相空間では点列による議論（$x_n\to x_0$）は使えない。 第1可算公理を満たさない空間では点列で閉包が捉えられないからである。 必ず開集合（近傍）で議論すること。 また (2) で $f^{-1}(V)$ が開であることの根拠（$f$ の連続性の定義）を明示すること。

方針

$\mathbb C^{*}$ の元は絶対値と偏角の組で決まり、 積は「絶対値は掛け算、偏角は足し算」である。 これは問題の演算 $*$ そのものなので、 $\mathbb R_+\times\mathbb R$ は「偏角を実数のまま覚えている $\mathbb C^{*}$」だと分かる。 偏角は $2\pi$ の整数倍の違いを無視するので、 その分を割ったものが $\mathbb C^{*}$ になる、というのが本問の筋書きである。

$2\pi$ を $y$ に押し込む理由

$\Phi(x,y)=xe^{iy}$ としても準同型・全射だが、核が $\{1\}\times2\pi\mathbb Z$ となり、 問題文の「$y-y'$ が整数」という同値関係と合わない。 $e^{2\pi iy}$ と定義することで核がちょうど $\{1\}\times\mathbb Z$ になり、 与えられた $\sim$ と一致する。定義の細部が結論に効いている。

別の見方（直積分解）

$\mathbb R_+\times\mathbb R/{\sim}\cong\mathbb R_+\times\left(\mathbb R/\mathbb Z\right)$ であり、 $\mathbb R/\mathbb Z\cong\mathbb T$（単位円）なので $\mathbb C^{*}\cong\mathbb R_+\times\mathbb T$ という直積分解が得られる。 これは複素数の極形式そのものである。 $\mathbb R_+\cong\mathbb R$（対数）とみなせば $\mathbb C^{*}\cong\mathbb R\times\mathbb T$ とも書ける。

失点しやすい点

(2) で「$\circ$ が well-defined であること」を示す必要があるが、 $\sim$ が核による剰余類と一致することを言えば自動的に従う。 代表元の取り替えを直接確かめてもよいが、二度手間になる。 また核を求めるとき、$xe^{2\pi iy}=1$ から絶対値を比べて $x=1$ を先に出すこと。 $x$ を残したまま偏角だけ見ると核が大きくなってしまう。

方針

「幾何的な条件を1本の等式に翻訳して微分する」というのが (2) の骨格である。 接線が定点を通るという条件は、位置ベクトルの差が速度ベクトルに平行という形になる。 その比例係数 $\mu(s)$ が微分可能であることを内積で確認しておくと、 安心して微分できる。

$\mu(s)=s+c$ の意味

$|\mu(s)|=\left\|\beta(s)-p\right\|$（$\left\|\beta'\right\|=1$ だから）なので、 $\mu(s)=s+c$ は「$p$ からの距離が弧長と同じ速さで増える」ことを表す。 直線上を等速で動けばまさにそうなる。 $\mu(-c)=0$ は曲線が点 $p$ を通る瞬間で、そのとき接線の方向は決まらないが、 $\beta''$ の連続性でこの1点も埋められる。

曲率による別解

$\beta''=\kappa\bm n$（$\kappa$ は曲率、$\bm n$ は主法線）なので、 上の議論は $\kappa\equiv0$ を示したことになる。 曲率が恒等的に $0$ の正則曲線は直線である、という基本命題に帰着する。 どちらの言葉で書いてもよい。

失点しやすい点

(1) で $\left\|\alpha'\right\|\ne0$ という仮定がどこで効くかを明示すること。 これがないと $s(t)$ が単調でなくなり逆関数が取れない。 (2) では $\mu(s)$ の微分可能性を断らずに微分すると論理に穴ができる。 また $\mu(s)\beta''(s)=\bm 0$ から直ちに $\beta''\equiv\bm 0$ とはできず、 $\mu$ の零点が孤立していることと $\beta''$ の連続性を使う必要がある。

方針

最小二乗法は「残差ベクトルが設計行列の列空間に直交する」という条件で、 それを成分で書いたものが正規方程式である。 本問は未知数2個・データ3点なので、$3\times2$ の設計行列に対する $2\times2$ の連立方程式になる。

検算：残差の性質

最小二乗解では残差 $r_i$ が $\sum r_i=0$ かつ $\sum x_ir_i=0$（(2) では $\sum u_ir_i=0$）を満たす。

(1)：予測値は $\dfrac56,\ \dfrac{13}{3},\ \dfrac{47}{6}$、 残差は $-\dfrac16,\ \dfrac13,\ -\dfrac16$ で和は $0$、 $\sum x_ir_i=-\dfrac16+\dfrac23-\dfrac12=0$。

(2)：予測値は $\dfrac{85}{98}+\dfrac27=\dfrac{113}{98}$、 $\dfrac{340}{98}+\dfrac{28}{98}=\dfrac{368}{98}$、 $\dfrac{765}{98}+\dfrac{28}{98}=\dfrac{793}{98}$。 残差は $\dfrac{15}{98},\ -\dfrac{24}{98},\ \dfrac{9}{98}$ で和は $0$。 $\sum u_ir_i=\dfrac{15-96+81}{98}=0$。どちらも正しい。

どちらの当てはめがよいか

残差平方和は $E_1=\left(\dfrac16\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac16\right)^2=\dfrac16\simeq0.167$、 $E_2=\dfrac{15^2+24^2+9^2}{98^2}=\dfrac{882}{9604}=\dfrac{9}{98}\simeq0.092$ である。 放物線のほうが残差が小さい。 与えられた3点は $y$ がほぼ $2^{x-1}$ のように増えており、 直線より上に凸な曲線のほうが合うことと整合する。

失点しやすい点

(2) で $y=cx^2+d$ を「2次関数の当てはめ」と考えて $bx$ の項まで入れると、 未知数3個・データ3点となり残差 $0$ の補間になってしまう。 問題は $x$ の1次項を含まない形を指定しているので、そのまま $u=x^2$ と置き換えること。 また正規方程式の $\sum1=3$（データ数）を $1$ と書き間違えやすい。