新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2017年度 第1回募集 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

方針

$f_n$ の形を「幅 $1/n$、高さ $1$ の三角形の山が原点近くにある」と読み替えるのが第一歩である。 $nf_n$ は「幅 $1/n$、高さ $n$ の山」で、面積は $1/2$ に保たれたまま 山がどんどん細く高くなる。 面積が消えないのに各点では $0$ に落ちる、というのが (2) の反例の核心である。

各点収束と一様収束の違い

各点収束は「$x$ を固定してから $n$ を大きくする」、 一様収束は「$n$ を大きくすれば全部の $x$ で同時に小さくなる」を意味する。 本問では山の位置が $n$ とともに $0$ へ移動していくため、 どの $x$ も最後には山の外に出て $0$ になるが、 どの $n$ でも山の頂上には高さ $n$ の点が残る。

定理との関係

一様収束すれば積分と極限は交換できるので、(2) が成り立つ以上 (3) は自動的に従う。 逆に (3) を直接示せば (2) の理由が説明できる。 また優収束定理の観点では、$nf_n$ を上から押さえる可積分関数が存在しないことが原因である。 実際 $\sup_n nf_n(x)\ge\dfrac{1}{2x}$（$x$ の近くに頂点が来る $n$ を選ぶ）で、 これは $[0,1]$ 上可積分でない。

失点しやすい点

(2) で「右辺は $0$」と結論するには、各点で $nf_n(x)\to0$ を示す必要がある。 $x=0$ の場合を別に扱うこと（$f_n(0)=0$）。 (3) で「$nf_n$ は $0$ に収束しない」と書くと誤りで、 各点では収束する。収束の仕方が一様でないことを述べる。

$A$ が射影行列であること

$A^2=A$ かつ $A$ が対称なので、$A$ は直交射影である。 $\operatorname{tr}A=\dfrac{(1-c)+(1+c)}{2}=1$、$\det A=\dfrac{(1-c)(1+c)-s^2}{4}=0$ なので 固有値は $1$ と $0$ が1つずつ、すなわち $A$ は1次元部分空間への射影である。 その方向は固有値 $1$ の固有ベクトル $\left(\sin\frac\theta2\ \text{に比例する向き}\right)$、 具体的には $\left(-\sin\frac\theta2,\ \cos\frac\theta2\right)$ 方向である。

特性方程式による確認

$B$ の特性方程式は $\lambda^2-\left(\operatorname{tr}B\right)\lambda+\det B =\lambda^2-2\cos\theta\,\lambda+1=0$ で、 $\lambda=\cos\theta\pm i\sin\theta=e^{\pm i\theta}$。確かに $|\lambda|=1$ である。 $\theta=0,\pi$ では実固有値 $\pm1$ になる。

一般化

(2) の議論は「多項式 $p$ について $p(A)=O$ ならば固有値は $p(\lambda)=0$ の根」という 一般的な事実の特別な場合である。 (4) の議論は「直交行列（より一般にユニタリ行列）の固有値は絶対値 $1$」という定理そのもので、 $B^{*}B=I$ さえあれば次数や成分によらず成り立つ。

失点しやすい点

(2) で「$A$ の特性方程式を解く」と答えても正しいが、 (1) を使うよう誘導されているので $A^2=A$ から導くほうが趣旨に合う。 (4) では固有値が複素数になりうることを見落とし、 実ベクトルのまま議論すると $\theta\ne0,\pi$ で固有ベクトルが存在せず行き詰まる。 複素ベクトル空間で考えることを明示すること。

定理の構造

(2) の証明で使ったのは「$X$ のコンパクト性」と「$Z$ のハウスドルフ性」だけである。 前者は $f(F)$ をコンパクトにするために、 後者はコンパクト集合を閉集合にするために使われている。 どちらか一方でも落とすと定理は成り立たない。

どこで仮定が破れるか

(3) の反例では $Z$ のハウスドルフ性は保たれているが、 $Y$ がコンパクトでないため (1) の議論が使えない。 局所コンパクト性は「各点の近くではコンパクト」を言うだけで、 空間全体を有限個の開集合で覆えることは保証しない。

別の反例

$Y$ を離散位相を入れた $\mathbb R$（各点が孤立点なので局所コンパクト）、 $Z$ を通常の位相の $\mathbb R$、$g$ を恒等写像とするのも反例になる。 $g$ は連続全単射だが、$g^{-1}$ は連続でない（離散位相のほうが真に細かい）。 こちらは「位相の細かさ」の観点からの反例である。

失点しやすい点

(1) で「コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト」という補題を証明なしに使うと、 証明すべき内容の中心を飛ばしたことになる。 (2) では「ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉」も同様で、 少なくとも一方は証明を書いておきたい。 (3) では反例を挙げるだけでなく、なぜ同相でないかの理由（コンパクト性の不変性）を 明示することが求められている。

加法的に書くと見やすい

$G=\mathbb Z/33\mathbb Z$ と同一視すると、$H_6=6G=\{6k\bmod33\}$ である。 $\gcd(6,33)=3$ なので $6G=3G=\{0,3,6,\dots,30\}$ で、要素は $11$ 個。 $T_6=\{y\mid 6y\equiv0\}=\{0,11,22\}$ で $3$ 個。 $33=11\times3$ となって (2) の同型が数の上でも確かめられる。

なぜ可換性が必要か

非可換群では $x\mapsto x^n$ は一般に準同型にならず、 $H_n$ は部分群ですらないことがある。 たとえば3次対称群 $S_3$ で $n=2$ とすると $H_2=\{x^2\}=\{e,(123),(132)\}$ は偶然部分群になるが、 $n=3$ では $H_3=\{e,(12),(13),(23)\}$ となり積で閉じない。 (1)(2) の証明で可換性をどこで使ったかを明示することが大切である。

一般の場合

$G$ が有限アーベル群で $|G|=m$ のとき、 巡回群の直積分解 $G\cong\prod\mathbb Z/m_i\mathbb Z$ を使えば $\left|T_n\right|=\prod\gcd(n,m_i)$、$\left|H_n\right|=\prod\dfrac{m_i}{\gcd(n,m_i)}$ となる。 本問は成分が1つの場合にあたる。

失点しやすい点

(3) で「位数 $33$ のアーベル群は巡回群」という点を断らずに $\mathbb Z/33\mathbb Z$ で計算すると、一般性の確認が抜ける。 また $\left|H_6\right|$ を直接数えようとすると $x^6$ の重複を数え違えやすい。 (2) の同型を使って $|G|/\left|T_6\right|$ に直すほうが確実である。

常螺旋の性質

$\bm p(t)=(a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ は常螺旋（円柱螺旋）で、 $\left|\bm p'\right|=\sqrt{a^2+b^2}$ が一定、曲率も捩率も一定になる。 一般には $\kappa=\dfrac{a}{a^2+b^2}$、$\tau=\dfrac{b}{a^2+b^2}$ である。 本問は $a=2,\ b=3$ なので $\kappa=\dfrac{2}{13}$、$\tau=\dfrac{3}{13}$ となる。 $\kappa$ が $t$ によらないことは、螺旋がどの点でも同じ形をしていること （円柱面上を一定の傾きで進むこと）の表れである。

検算：$b\to0$ の極限

$b=0$ とすると半径 $a$ の円になり、$\kappa\to\dfrac1a$ である。 本問の公式 $\dfrac{a}{a^2+b^2}$ で $b=0$ とすると確かに $\dfrac1a$。 また $a\to0$（$z$ 軸上の直線）では $\kappa\to0$ で、直線の曲率 $0$ と合う。 本問の値 $\dfrac{2}{13}$ は $\dfrac12$（半径 $2$ の円）より小さく、 「$z$ 方向に伸びているぶん曲がりが緩い」ことを示している。

接触平面の意味

接触平面は、曲線に3次の精度で接する平面（曲線を局所的に最もよく含む平面）である。 $\bm p'$ と $\bm p''$ が張る平面がそれで、法線方向 $\bm b=\dfrac{\bm p'\times\bm p''}{\left|\bm p'\times\bm p''\right|}$ が 従法線ベクトルである。本問では $\bm b=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}\left(3\sqrt3,-3,4\right)$ となり、 その $z$ 成分 $\dfrac{4}{2\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ が一定であることが 螺旋の特徴（従法線が $z$ 軸と一定の角をなす）を表している。

失点しやすい点

(3) で $\left|\bm p'\right|^3$ の割り算を忘れて $\kappa=\left|\bm p''\right|=2$ としてしまう誤りが多い。 曲率の定義 $\kappa=\left|\dfrac{d\bm T}{ds}\right|$ は弧長 $s$ による微分であり、 $t$ が弧長でないぶんの補正が $\left|\bm p'\right|^3$ である。 本問では $\left|\bm p'\right|=\sqrt{13}\ne1$ なので必ず必要になる。 また (2) で法線ベクトルの外積の第2成分の符号（余因子展開で $-$ が付く）を落としやすい。

検算：積率母関数から平均と分散

$g_X(\theta)$ を $\theta=0$ のまわりで展開すると $g_X(\theta)=1+E(X)\theta+\dfrac{E(X^2)}{2}\theta^2+\cdots$ である。 $\theta$ が小さいとき $e^{\theta k}\simeq1+\theta k+\frac{\theta^2k^2}{2}$ を代入して $g_X(\theta)\simeq1+\dfrac{N+1}{2}\theta+\dfrac{(N+1)(2N+1)}{12}\theta^2$ となり、 (1) の結果と一致する。$g'_X(0)=E(X)$、$g''_X(0)=E(X^2)$ を使えば (1) を (2) から再導出できる。

$N=1$ と $N=2$ での確認

$N=1$ では $X\equiv1$ なので $E(X)=1$、$V(X)=0$。 公式でも $\dfrac{1+1}{2}=1$、$\dfrac{1-1}{12}=0$ で合う。 $N=2$ では $E(X)=1.5$、$V(X)=\dfrac{3}{12}=0.25$ で、 $\{1,2\}$ が等確率のときの分散 $\left(\dfrac12\right)^2=0.25$ と一致する。

連続一様分布との対応

区間 $[0,N]$ 上の連続一様分布では分散が $\dfrac{N^2}{12}$ である。 離散版の $\dfrac{N^2-1}{12}$ はこれより $\dfrac{1}{12}$ だけ小さく、 $N$ が大きいときは両者がほぼ一致する。 この $-\frac{1}{12}$ の差はシェパードの補正として知られ、 連続分布を階級に区切って離散化したときの分散のずれにあたる。

失点しやすい点

(2) で $\theta=0$ の場合を書かないと、分母が $0$ になる点で定義されない式を答えたことになる。 積率母関数は $\theta=0$ の近傍で定義される必要があるので、この場合分けは必須である。 (3) では「$x=1,\dots,N$ での値」だけを答えるのは不十分で、 $F_X$ は実数全体で定義された右連続な階段関数である。 床関数を使うか、区間ごとに $k/N$ と書き並べること。