新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2020年度 第2回募集 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

極値判定の要点

2変数関数では、まず勾配が消える点を求め、次にヘッセ行列で判定する。 判別式 $\Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$ が負なら鞍点で、極値ではない。 この問題では $(0,0)$ が典型的な鞍点であり、ここを極値として数えないことが重要である。

閉領域での最大・最小

閉じた有界領域上の連続関数は最大値・最小値をもつ。候補は内部の停留点と境界上の1変数問題から出る。 境界では端点だけでなく、各辺に沿った微分が0になる点も調べる必要がある。 この確認を落とすと、最小値 $-8-4\sqrt2$ を見逃しやすい。

対角化できる理由

固有値がすべて異なるので、対応する固有ベクトルは一次独立である。 したがって固有ベクトルを列に並べた行列 $P$ は正則となり、対角化ができる。

累乗計算

行列の累乗を直接掛けるのではなく、対角化 $$A=PDP^{-1}$$ を使うと $$A^n=PD^nP^{-1}$$ となる。対角行列の累乗は対角成分を累乗するだけなので、最終式まで機械的に進められる。

証明の流れ

この問題は $$\text{Young} \Rightarrow \text{Holder} \Rightarrow \text{Minkowski}$$ という標準的な流れをそのまま使うのが最も安定する。最初の1変数最小化で共役指数の関係が現れ、その正規化を使ってHolderを証明する。

Minkowskiで割る量

最後に $S^{p/q}$ で割るため、先に $S=0$ の場合を分けておく必要がある。 この一言がないと、0で割る可能性が残る。入試答案ではこのような例外処理を短く書いておくと減点されにくい。

群の正体

この群は四元数群 $Q_8$ である。行列として出題されていても、積の関係 $$I^2=J^2=K^2=-E,\quad IJ=K,\quad JI=-K$$ を確認した後は $Q_8$ の構造を使ってよい。

部分群列挙の考え方

位数8の群なので、部分群の位数は $1,2,4,8$ に限られる。 位数2の元は $-E$ だけで、その他の非中心元は位数4である。 この情報だけで列挙がほぼ終わる。

接線と接触平面

空間曲線の接線方向は速度ベクトル $\mathbf p'(t)$ で決まる。 接触平面は、曲線を2次まで近似したときの平面なので、通常は $\mathbf p'(t)$ と $\mathbf p''(t)$ が張る平面を使う。

確認

$\mathbf p'(2)$ と $\mathbf p''(2)$ は比例していないため、接触平面は一意に定まる。 法線ベクトルを外積で取れば、点 $\mathbf p(2)$ を通る平面の式にすぐ変換できる。

図示の代わりに確認すべき点

表示された3本の不等式だけで見ると、実行可能領域は下方向に非有界である。 ただし最大化なので、各 $x_1$ で許される $x_2$ の上限を追えばよい。 標準形の慣例として $x_1,x_2\ge0$ も課す読み方をしても、最適点 $(2,10)$ と最適値 $26$ は変わらない。

相補性による検算

主問題の最適点では第3制約に余裕があるため、対応する双対変数は $y_3=0$ になる。 また主変数が符号制約なしであるため、双対の2本の制約は等号で成り立つ。 $$y_1+2y_2=3,\qquad y_1+y_2=2$$ から $y_1=y_2=1$ が出る。シンプレックス計算の結果をこの相補性で検算できる。

符号制約の読み違いに注意

主変数に非負制約が明記されている問題なら，双対制約は等式ではなく 「$\ge$」型になる。今回は符号制約なしとして扱ったため等式にしている。 ただし非負制約を追加して読んでも最適点 $(2,10)$ は第1象限内にあり， 相補性から得られる双対解 $(1,1,0)$ も同じ最適値を与える。 採点答案では，どちらの標準形を採用したかを最初に一言書いておくと， 双対問題の不等号・等号の違いで減点されにくい。