新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 2022年度 第1回募集 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

一次変換で標準形に直す

楕円や楕円体は、軸方向の拡大縮小で円や球に戻すのが最短である。面積・体積は図形そのものを積分するより、ヤコビアンを掛ける方が計算ミスが少ない。

第3小問の切り替え点

第3小問は、球による制限 $r^2\le 1-w^2$ と放物面状の制限 $r^2\le w$ のどちらが強いかを分ける問題である。$w$ の範囲を先に決めずに積分すると、負の $w$ まで含めてしまう誤りが起こりやすい。$r^2\le w$ から $w\ge 0$ が出る点を最初に確認する。

検算

第3小問の無次元体積は、単位球全体の体積 $4\pi/3$ より小さくなるはずである。 $$\frac{5\pi(3-\sqrt5)}{12}\simeq 0.318\pi$$ なので、この大まかな大小関係と合っている。また、最後に元の座標へ戻すときは、断面積だけでなく体積全体に $abc$ を掛ける。ここで $ab$ だけを掛けると、$z$ 軸方向の伸縮を落とした答案になる。

極限で残る固有空間

この行列は各行の和が $1$ であるため、$(1,1)^T$ が固有値 $1$ の固有ベクトルになる。もう一つの固有値は絶対値が $1$ 未満なので、累乗の極限ではその成分が消える。

$0<a,b<1$ から $0<a+b<2$ であり、したがって $-1<1-a-b<1$ である。この範囲確認を省くと、極限で第2固有値成分が消える理由が書かれていない答案になる。

対角化の確認

固有値が異なるので、対応する2本の固有ベクトルは自動的に一次独立である。$P$ の列を固有ベクトルの順に並べると、対角成分も同じ順に並ぶ。この対応を取り違えないことが重要である。

極限行列の見方

極限行列 $$\frac1{a+b}\begin{pmatrix}b&a\\ b&a\end{pmatrix}$$ は、任意の初期ベクトルを固有空間 $\operatorname{span}\{(1,1)^T\}$ へ射影する行列である。各行の和は $1$ で、さらに $$A\left\{\frac1{a+b}\begin{pmatrix}b&a\\ b&a\end{pmatrix}\right\} = \frac1{a+b}\begin{pmatrix}b&a\\ b&a\end{pmatrix}$$ も成り立つので、累乗極限として自然な形になっている。

正値集合は開集合

$\{f>0\}$ が開く理由は、値 $f(x_0)$ が正ならその半分だけの余裕があるからである。$\varepsilon$ を固定値でなく $f(x_0)/2$ と選ぶのが自然な一手である。

距離の比較が意味すること

第2小問の仮定は、$X$ の距離と $Y$ へ写した後の距離が定数倍の範囲で同程度であることを表している。左側の不等式は $f$ の連続性と単射性に効き、右側の不等式は逆写像の連続性に効く。全射の仮定は逆写像を $Y$ 全体で定義するために必要である。

列で書く場合の注意

距離空間では列による連続性判定が使えるので、$x_n\to x$ から $f(x_n)\to f(x)$、さらに $y_n\to y$ から $f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y)$ と示してもよい。ただし、逆写像を使う前に $f$ が全単射であることを明記する必要がある。試験答案ではこの順序を落とすと、 「逆写像が定義できる理由」が抜けた答案に見える。

和集合は普通は部分群にならない

部分群の共通部分は常に部分群だが、和集合は一般には部分群ではない。第3小問では、互いに外側にはみ出した元 $a,b$ を掛けると、どちらの部分群に入っても矛盾する、という典型的な論法を使う。 包含がある場合の逆向きは短いが、答案では必ず書く。必要条件だけを書いて終えると 「場合に限る」の十分性を示していない答案になる。

可換性の使いどころ

第1小問と第2小問の正規性では可換性が直接効く。一方、第3小問の包含関係の議論自体は可換性を使わず、部分群の閉性だけで証明できる。 第3小問で $ab$ を使っても $ba$ を使ってもよいのは、実は可換性に依存しない。 部分群に属する元の逆元と積が再びその部分群に属する、という閉性だけが本質である。

まず速度を整理する

曲率まで求める問題では、$\|\mathbf p'(t)\|$ の簡約が後の計算量を大きく左右する。この曲線では速度が $\sqrt2(1+t^2)$ にきれいに因数分解されるため、弧長も曲率も短く処理できる。

曲率公式の選び方

弧長パラメータでない曲線に対しては $$\kappa=\frac{\|\mathbf p'\times\mathbf p''\|}{\|\mathbf p'\|^3}$$ を使うのが安全である。単位接ベクトルを微分してから弧長で割る方法も可能だが、成分計算が長くなりやすい。

答案上の確認点

単位接ベクトルは、方向だけでなく長さが $1$ になっていることを一度確認するとよい。曲率では分母が $\|\mathbf p'(t)\|^3$ であるため、速度の二乗のまま代入したり、分母を $\|\mathbf p'(t)\|^2$ としてしまうミスが起きやすい。最後に $t=0$ など簡単な値を代入して検算すると、係数 $2$ や $\sqrt2$ の落としを発見しやすい。

自由変数の扱い

$x_1$ に非負条件がないため、標準形では $x_1^+-x_1^-$ と分ける。双対側では、自由変数に対応する制約が不等式ではなく等式になる。この対応を押さえると双対問題を機械的に書ける。

シンプレックス計算を短くする見方

等式制約が2本あるので、まず掃き出して $x_1$ と $x_3$ を $x_4$ で表すと、実質的に1変数の問題になる。シンプレックス法の表計算でも同じ構造が現れるため、計算結果の検算として有効である。