新潟大 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 数学 院試 過去問 解答・解説【12実施回分】

年度別の出題内容と解説の見出し

1. 2023年度 第2回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析逆正接関数解説: 偏導関数 / 積分順序の選択
   • 第2問 線形代数対角化解説: 通常の対角化と直交対角化 / 答案上の注意
   • 第3問ユニタリ群解説: 行列式写像を見る / 全射性
   • 第4問位相と連続写像解説: 逆像で押し切る / コンパクト性の証明
   • 第5問 線形代数ヤコビ行列とコンパクト性解説: 階数の見方 / コンパクト性
   • 第6問双対問題とシンプレックス法解説: 双対を解く利点 / 主問題側の確認
2. 2023年度 第1回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析積分計算解説: 有理関数の処理 / Wallis 型の漸化式
   • 第2問 線形代数行列の累乗解説: 対角化できない場合の累乗 / 確認
   • 第3問 位相・幾何距離空間の連続性解説: 証明の組み方 / 近傍条件の読み替え
   • 第4問共役類と交代群解説: 対称群の共役類 / 交代群で共役類が分裂する場合
   • 第5問グラフの直径と半径解説: 中心を使う / 道 の添字
   • 第6問線形計画法解説: 符号に注意する制約 / 双対による検算
3. 2022年度 第2回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析逆三角関数と積分解説: 第2小問は積分公式の準備 / 平方完成
   • 第2問 線形代数対称行列の直交対角化解説: 対称行列は直交対角化できる / 重複固有値の処理
   • 第3問 位相・幾何コンパクト集合と閉集合の和解説: 集合和を交わりに言い換える / コンパクト性の役割
   • 第4問正規化群と中心化群解説: 正規化群と中心化群の違い / 二面体群の中心
   • 第5問円柱らせんの曲率と捩率解説: 速度が一定のらせん / 公式を使うときの注意
   • 第6問2変数線形計画と双対解説: 最小化で不等号がすべて下向きでない場合 / 相補性による検算
4. 2022年度 第1回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問楕円体の体積解説: 一次変換で標準形に直す / 第3小問の切り替え点
   • 第2問 線形代数2次行列の対角化解説: 極限で残る固有空間 / 対角化の確認
   • 第3問 位相・幾何距離空間と同相写像解説: 正値集合は開集合 / 距離の比較が意味すること
   • 第4問 代数可換群の部分群解説: 和集合は普通は部分群にならない / 可換性の使いどころ
   • 第5問空間曲線の曲率解説: まず速度を整理する / 曲率公式の選び方
   • 第6問線形計画法と双対解説: 自由変数の扱い / シンプレックス計算を短くする見方
5. 2020年度 第2回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析2変数関数の極値解説: 極値判定の要点 / 閉領域での最大・最小
   • 第2問 線形代数対角化と行列の累乗解説: 対角化できる理由 / 累乗計算
   • 第3問HolderとMinkowskiの不等式解説: 証明の流れ / Minkowskiで割る量
   • 第4問四元数群解説: 群の正体 / 部分群列挙の考え方
   • 第5問空間曲線解説: 接線と接触平面 / 確認
   • 第6問線形計画と双対解説: 図示の代わりに確認すべき点 / 相補性による検算
6. 2020年度 第1回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 数学2変数関数の偏導関数とヘッセ行列による極値判定解説: 大域的な最大・最小 / 対称性による確認
   • 第2問 線形代数対合行列の対角化と <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A^{n}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">A</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6644em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>解説: 対合行列であることの意味 / (3) の別解
   • 第3問閉包と連結性の保存解説: どこまで広げられるか / 分割の定義に注意
   • 第4問 代数準同型写像の核と交代群の位数解説: 1 が必要な理由 / 符号の準同型性をどう示すか
   • 第5問 位相・幾何円錐らせんの接線と接触平面解説: 曲線の形 / 接触平面が定まる条件
   • 第6問 確率・統計三角形領域上の同時密度と周辺分布・期待値解説: 規格化の確認 / と は独立でない
7. 2019年度 第2回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析原点の特異性を持つ広義積分の収束次元依存性解説: 方針と構造 / 無限遠側との違い
   • 第2問 線形代数対称・交代分解、逆行列、対角化可能性、多項式の固有値解説: 対称・交代分解の一意性
   • 第3問 位相・幾何収束列・コーシー列・有界性・部分列解説: 3つの命題の位置づけ / (2)(3) の使いどころ
   • 第4問 代数剰余類の一致条件と指数の小さい部分群解説: (1) が土台になっていること / 指数 が特別な理由
   • 第5問 位相・幾何双曲線型の空間曲線の接線・接触平面・曲率・捩率解説: −τ となること / 検算：0 での値
   • 第6問図解法・双対問題・シンプレックス法解説: なぜ双対を経由するか / 相補性条件による検算
8. 2019年度 第1回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析ガンマ関数とベータ関数解説: 基本公式のつながり / 最後の定積分
   • 第2問 線形代数ジョルダン標準形解説: 重複固有値の扱い / 列ベクトルの順序
   • 第3問極分解解説: 何を求めているか / 平方根行列の作り方
   • 第4問単位円板上の演算解説: 閉性の決め手 / 結合律ではない
   • 第5問立方体グラフ解説: 距離の下限と上限 / 奇閉路の否定
   • 第6問対数正規分布解説: 分布の名前 / 平均・中央値・最頻値の違い
9. 2018年度 第2回募集の解答・解説全6大問
   • 第1問 微分積分・解析部分分数分解・広義積分の収束・極座標による重積分解説: (1) の検算 / (2) の意味
   • 第2問 線形代数<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>4</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">4\times4</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">4</span></span></span></span> 対称行列の行列式・固有値・直交対角化解説: ヘルマート行列
   • 第3問閉包の点列的でない特徴づけと連続写像による像の閉包解説: 等号が成り立たない例 / 連続性の同値な言い換え
   • 第4問 代数極形式による群の構成と <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="double-struck">C</mi><mo lspace="0em" rspace="0em">∗</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathbb C^{*}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6889em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathbb">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6887em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">∗</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> との同型解説: を に押し込む理由 / 別の見方（直積分解）
   • 第5問 位相・幾何弧長パラメータと「すべての接線が1点を通る曲線」解説: s+c の意味 / 曲率による別解
   • 第6問 微分積分・解析最小二乗法による直線近似と放物線近似解説: 検算：残差の性質 / どちらの当てはめがよいか
10. 2018年度 第1回募集の解答・解説全6大問
    • 第1問 微分積分・解析逆正弦関数の冪級数展開と楕円体の切片の体積解説: 別解（線形変換）
    • 第2問 線形代数実対称行列の直交対角化と二次形式の標準形解説: 3I+J の分解が効く理由 / 正定値性の確認
    • 第3問 複素解析単位円上のハーディ内積とノルムの計算解説: で展開する理由 / 検算：0 の場合
    • 第4問 代数位数 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>8</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">8</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">8</span></span></span></span> の有限群の部分群と自己同型解説: (2)(iii) を落としやすい / (3) の別解
    • 第5問 位相・幾何サイクロイドを持ち上げた空間曲線の接触平面・曲率・捩率解説: 検算：0 での値 / 尖点の扱い
    • 第6問 線形代数自由変数を含む問題の基底解・最適解・双対解説: 自由変数が双対に与える影響 / &lt;0 を排除しないこと
11. 2017年度 第2回募集の解答・解説全6大問
    • 第1問 線形代数対角化・行列のべき・対角化可能性の判定解説: の別の求め方
    • 第2問 微分積分・解析平坦な関数の無限回微分可能性とガウス積分解説: この関数が示していること / (a) が (b) を支える構造
    • 第3問 微分方程式接線の内分条件から定まる曲線解説: 内分比の向き / 一般の比の場合
    • 第4問 代数単位円がなす群と1の冪根の巡回性解説: 一般化 / (3) の幾何的な意味
    • 第5問 微分積分・解析ミンコフスキー汎関数とノルムとの関係解説: がノルムになるための条件 / (3) で何が原因か
    • 第6問 線形代数基底解の列挙・最適解・双対問題による検証解説: 双対問題の作り方 / 相補性条件の使い方
12. 2017年度 第1回募集の解答・解説全6大問
    • 第1問 微分積分・解析三角形の山を持つ関数列と極限の交換解説: 各点収束と一様収束の違い / 定理との関係
    • 第2問 線形代数べき等行列と直交行列の固有値解説: が射影行列であること / 特性方程式による確認
    • 第3問 位相・幾何コンパクト性と連続全単射が同相になる条件解説: 定理の構造 / どこで仮定が破れるか
    • 第4問 代数アーベル群のべき写像と準同型定理解説: 加法的に書くと見やすい / なぜ可換性が必要か
    • 第5問 位相・幾何空間曲線（常螺旋）の接線・接触平面・曲率解説: 常螺旋の性質 / 検算：0 の極限
    • 第6問 数学離散一様分布の平均・分散・積率母関数・累積分布関数解説: 検算：積率母関数から平均と分散 / 1 と 2 での確認