広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 2026年度 一般A 院試 解答例・解説

方針

(A) は標準的な行列式・逆行列の計算で，行基本変形を丁寧に書けばよい。逆行列は拡大行列法でも余因子展開でもよいが，$4\times 4$ では拡大行列の方が見通しが良い。 (B)(1)(2) は固有値・固有ベクトル・ジョルダン標準形の典型例。$\lambda^2(\lambda-1)$ という特性多項式と幾何的重複度1から，$2\times 2$ ジョルダンブロックが必須となる。 (B)(3) は可換子（centralizer）の次元計算。$B$ の最小多項式が次数3（$=$特性多項式）であることから，$\{I,B,B^2\}$ が1次独立だとわかる。

典型ミス

(A) で行の入れ替えに伴う符号変化を忘れて $\det A=3$ としてしまうミス。 (B)(2) でジョルダン標準形を構成する際，$Bp_2=p_1$（$=v_0$）の方向を逆にして $p_2=v_0,\,p_1=$（一般化固有ベクトル）と取ってしまい，$J$ の右上の $1$ の位置がずれるミス。 (B)(3) で「$I,B,B^2$ が $S$ に属し，1次独立だから基底だ」とだけ書いて済ませ， $\dim S=3$ の確認を怠るのが最大の落とし穴。$S$ の次元を独立に計算することが必要。

試験で書くべきポイント

• 特性多項式は $\lambda^2(\lambda-1)$。代数的重複度と幾何的重複度の差から ジョルダン構造を確定する。
• $P$ は具体的に書き，$BP=PJ$ の検算を1行でも添える。
• (B)(3) では，$S$ の元数が3次元であることを， ジョルダン標準形に移して直接計算するか，あるいは可換子写像 $T_B(X)=BX-XB$ の核として階数公式を用いる。

方針

(A) は一様連続性の典型問題。$f$ が 1-Lipschitz であることを示すのが最も短い証明で， そこから合成関数 $g\circ f$ も自動的に一様連続になる（コンパクト像 $[0,1]$ で $g$ が一様連続であることが鍵）。 (3) は「絶対値の合成」が片側微分の不一致を生むことを使う。 (B) は冪級数の一様収束 $+$ Taylor 展開で $\cos x$ になることの古典的な証明。 (C) は広義重積分の収束判定で，$x$ を固定して $y$ で先に積分した後， $x$ について $0$ 近傍と無限大近傍の両方を評価する。

典型ミス

• (A)(1) で $\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|$ を $|x|,|y|\le 1$ の場合だけ書いて 場合分けの残り（$|x|>1$ と $|y|\le 1$ の混合）を忘れる。
• (A)(2) で $g$ の $\mathbb R$ 全体での一様連続性を仮定してしまう（$g$ は連続としか 書かれていない）。「$f(\mathbb R)=[0,1]$ がコンパクトだから $g$ が一様連続」と コンパクト性を経由するのが正しい。
• (B)(2) で剰余項の評価を曖昧にする。Taylor の剰余項のラグランジュ形を 使って $|R_n|\to 0$ を厳密に示す。
• (C) で $x\to 0$ と $x\to\infty$ の両端の評価を片方しか行わない。$\alpha$ が変動するため， 両端の評価を別々に行うのが安全。

試験で書くべきポイント

• 一様連続性の定義（$\forall\varepsilon\,\exists\delta\,\forall x,y$ に注意して全称量化を明示）。
• Heine--Cantor の定理（コンパクト上の連続関数は一様連続）の利用を明記。
• Weierstrass の M-判定法は「$M_k$ の選択」と「$\sum M_k<\infty$」を分けて書く。
• 広義積分は，被積分関数が非負だから単調収束で，上界の存在を示せばよいと一言加える。

方針

(I)：(A) は距離空間の最も基本的な開球の性質と Hausdorff 性。三角不等式が すべての肝で，$\varepsilon$ の半分を取って分離する古典的議論。 (B) は連続写像によるコンパクト性・連結性の保存で，どちらも逆像で開集合を 引き戻して被覆を有限化（または分解を持ち上げる）する型。
(II)：(1)(3) は二次元正規の周辺・条件付き分布の標準計算。 (2) は $X_1$ が符号関数で，$\rho=0$ では独立であることから対称性で示せる。 (4) は $X_1^{2k}=1$ から問題が一気にスカラー値の偶数次モーメントに帰着。 (5) は $X_i^2=1$ により定数項 $\alpha$ が分離され，残った和の期待値・分散を $E[X_i\varepsilon_{i2}]=\rho\sqrt{2/\pi}$ という鍵となる量で表す。

典型ミス

(I)：(A)(2) で「$y\in N(a;\varepsilon)$ に対し $r=\varepsilon-d(a,y)$」と 明示しないまま「十分小さな半径」と書いて済ますと減点対象。 (B)(2) で「$Y$ が連結 $\Leftrightarrow$ $Y$ が空でない開集合と空集合のみで分割される」と 混同するミス。直積の連結成分は $\{f^{-1}(A),f^{-1}(B)\}$ という分割である点を意識する。
(II)：(2) で「$X_1\varepsilon_{12}=\pm\varepsilon_{12}$ なので 分布は $\varepsilon_{12}$ と同じ」と曖昧に書く。$X_1$ と $\varepsilon_{12}$ の 独立性を明示し，CDF の計算を経由するのが安全。 (5) で $E[X_i\varepsilon_{i2}]$ を $\rho=0$ と思い込んで $0$ にしてしまうと $E(Z)=\alpha$ となり，$\rho$ の項を取り損なう。回帰式 $E[\varepsilon_{i2}\mid\varepsilon_{i1}]=\rho\varepsilon_{i1}$ から $E[|\varepsilon_{i1}|]=\sqrt{2/\pi}$ を導く流れを必ず書く。

試験で書くべきポイント

(I)：

• Hausdorff の定義（任意の異なる2点が disjoint な開近傍を持つ）を明示。
• 連続写像の像のコンパクト性は，逆像経由で被覆 $\to$ 有限被覆 $\to$ 像の被覆と ステップを踏む。
• 連結性の保存は対偶（連結でない $\Rightarrow$ $Y$ も連結でない）が定石。

(II)：

• (3) で平方完成した後の $t_1$ ガウス積分の値 $\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}$ を明示。
• (4) で $X_1^{2k}=1$ をはっきり書く。
• (5) で $X_i^2=1$，$|\varepsilon_{i1}|=X_i\varepsilon_{i1}$， $E[|\varepsilon_{i1}|]=\sqrt{2/\pi}$ の3つを順番に提示し， 最後に独立性から分散を $1/n$ 倍する流れを書く。